L’article original « Level 4: Probabilities and Randomness » a été écrit par Ian Schreiber et fait partie d’un cours de game design en ligne, publié sur le blog Game Balance Concepts.

L’article original et cette traduction sont publiés sous licence Creative Commons (Attribution).

N’hésitez pas à visiter le blog de Ian Schreiber et suivre son compte Twitter.

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Lectures / Jeux

Lisez cet article sur Gamasutra par le designer Tyler Sigman. Je fais référence à cet article avec affection en utilisant le terme « Poil de nez d’Orc », mais il fournit une première approche pour les probabilités dans les jeux.

Le sujet de la semaine

Jusqu’à maintenant, presque tout ce dont nous avons parlé était déterministe, et la semaine dernière, nous sommes allés assez en profondeur dans les mécanismes transitifs et aussi loin que nous avons pu avec eux. Mais jusqu’à présent, nous avons ignoré un large aspect de nombreux jeux, les aspects non-déterministes : en d’autres termes, l’aléatoire. Comprendre la nature de l’aléatoire est important pour les concepteurs de jeu, car nous créons des systèmes de manière à bâtir certaines expériences pour les joueurs, alors nous avons besoin de connaître comment ces systèmes fonctionnent. Si un système inclus des entrées aléatoires, nous devons comprendre la nature de cet aléatoire et comment le modifier pour obtenir les résultats que nous souhaitons.

Les dés

Démarrons par quelque chose de simple : un lancer de dé. Quand les gens pensent à un dé, il pensent à un dé à 6 faces, aussi connu sous le nom de d6. Mais la plupart des joueurs ont rencontré de nombreux autres dés : 4 faces (d4), 8 faces (d8), d10, d12, d20… et si vous êtes vraiment geek, vous pourriez avoir un d30 ou un d100 qui traîne. Dans le cas où vous n’auriez pas vu avant cette terminologie, « d » avec le nombre après signifie un dé avec autant de faces ; s’il y a un nombre avant le « d » cela signifie la nombre de dés lancés – ainsi par exemple dans le Monopoly vous lancez 2d6.

Maintenant, quand je dis « dé » ici, ce n’est pas un raccourci. Nous avons plein d’autres générateurs de nombres aléatoire (random number generator – RNG) qui ne sont pas des morceaux de plastique mais qui ont la même fonction de générer un nombre aléatoire de 1 à n. Une pièce de monnaie standard peut être vue comme un d2. J’ai même vu un concept pour les d7, un qui ressemblait à un dé et l’autre qui ressemblait plus à un crayon de bois à 7 côtés. Une toupie de Hanoucca à 4 faces (aussi connu comme teetotum) est l’équivalent d’un d4. La girouette fournie avec Echelles et Serpents et qui va de 1 à 6 est l’équivalent d’un d6. Un RNG dans un ordinateur pourrait créer un nombre aléatoire de 1 à 19 si le concepteur le souhaite, même s’il n’y a pas de d19 dedans (je parlerai un peu plus des nombres dans les ordinateurs la semaine prochaine). Même si toutes ces choses ont l’air différentes, en réalité elles sont équivalentes : vous avez une chance égale de choisir d’un des résultats possibles.

Les dés ont des propriétés intéressantes auxquelles nous devons être attentifs. La première est que chaque face a autant de chance d’être obtenue (Je pars du principe que vous utilisez un dé juste et non pipé). Alors si vous voulez connaître la valeur moyenne (aussi connue sous le nom de « valeur attendue » par les geeks des probabilités), ajoutez simplement les valeurs de toutes les faces et divisez la somme par le nombre de faces. Le lancer moyen d’un d6 est : 1+2+3+4+5+6 = 21, divisé par le nombre de faces (6), ce qui signifie une moyenne de 21/6 = 3,5. Ceci est un cas spécial car nous partons du principe que tous les résultats peuvent sortir.

Et si vous avez un dé personnalisé ? Par exemple, j’ai vu un jeu avec un d6 et les mentions suivantes : 1,1,1,2,2,3, alors il se comporte comme un étrange d3 avec lequel vous avez plus de chances d’obtenir un 1, qu’un 2 et enfin un 3. Quelle est la valeur attendue pour ce dé ? 1+1+1+2+2+3 = 10, divisé par 6, égale 5/3 ou à peu près 1,66. Alors si vous avez ce dé personnalisé et vous souhaitez que les joueurs en lancent trois et ajoutent les résultats, vous savez que vous obtiendrez en moyenne un total de 5, et vous pouvez équilibrer votre jeu avec ce postulat.

Dé et Indépendance

Comme je l’ai dit auparavant, nous partons du principe que chaque lancer de dé a autant de chances. Cela est vrai quel que soit le nombre de dés lancés. Chaque lancer de dé est dit indépendant, ce qui signifie que les lancers précédents n’influencent pas les lancers suivants. Si vous lancez des dés suffisamment de fois vous verrez avec certitude des « séries » de nombres, comme une variation de hauts et bas ou quelque chose du genre, et nous verrons plus tard pourquoi c’est comme cela, mais cela ne signifie pas que le dé est « chaud » ou « froid » ; si vous lancez un d6 standard et obtenez deux 6 de suite, la probabilité de tirer un autre 6 est exactement de 1/6. Il n’y a pas plus de chances car le dé est « chaud ». Il n’y a pas plus de chances car « vous avons eu deux 6 et maintenant nous aurons quelque chose d’autre ». (Bien entendu, si vous lancez vingt fois et obtenez 6 à chaque fois, les chances d’obtenir un 6 au vingt et unième sont plutôt bonnes… parce que cela signifie que vous avez un dé pipé!). Mais en partant du principe que le dé est « juste », chaque lancer a autant de chances, de façon indépendante des autres. Si cela aide, partons du principe que vous échangiez de dé à chaque fois, alors si vous obtenez un 6 deux fois de suite, retirez ce dé « chaud » du jeu et remplacez-le par un nouveau, d6 « frais ». Pour ceux d’entre vous qui savaient déjà cela, je m’excuse, j’avais besoin d’être clair avant d’aller à la suite.

Rendre les dés plus ou moins aléatoires

Maintenant, parlons de la façon dont vous pouvez obtenir des nombres différents de dés différents. Si vous faites un seul lancer ou un petit nombre de lancers, le jeu vous semblera plus aléatoire que si vous utilisez plus de faces de dé. Plus vous lancez un dé, ou plus vous lancez de dés, plus les choses tendront vers la moyenne. Par exemple, lancer 1d6 + 4 (c’est à dire, lancer un dé standard à 6 faces et ajouter 4 au résultat) génère un nombre entre 5 et 10. Lancer 5d2 génère aussi un nombre entre 5 et 10. Mais le simple lancer de d6 a une chance égale de tirer un 5, un 8 ou un 10 ; les 5d2 ont tendance à créer plus de tirage de 7 ou 8 que d’autres résultats. Même étendue et même même valeur moyenne (7.5 dans les deux cas), mais la nature de l’aléatoire est différente.

Attendez une minute. N’ai-je pas dit qu’un dé n’était ni chaud ni froid ? Et maintenant je dis que si vous lancez beaucoup de dés, ils tendent vers une moyenne ? Que se passe t’il ?

Laissez-moi revenir au début. Si vous lancez un dé unique, chaque tirage a autant de chances. Cela signifie que si vous en ancez beaucoup, au cours du temps, vous obtiendrez chaque face aussi souvent que les autres. Plus vous lancez, plus vous tendez vers la moyenne, collectivement. Ce n’est pas parce que les nombres précédents « forcent » le dé à donner ce qui n’a pas été tiré avant. C’est parce qu’une petite série de 6 (ou 20 ou autre) finit par ne pas être d’une grande influence quand vous lancez 10 000 fois et obtenez principalement des résultats moyens… alors vous pourriez obtenir un paquet de nombres élevés maintenant, mais vous pourriez aussi obtenir un paquet de nombres faibles plus tard, et au cours du temps, tout cela tend à rejoindre la moyenne. Pas parce que le dé est influencé par les tirages précédents (sérieusement, le dé est une pièce de plastique, il n’a pas exactement un cerveau pour penser « mince, je n’ai pas donné de 2 depuis un moment »), mais parce que c’est juste que cela tend à arriver dans de large séries de lancers. Votre petit pic dans un large océan de lancers de dés serait certainement noyé.

Ainsi, faire le calcul pour un lancer de dé aléatoire est assez facile, au moins s’il s’agit de trouver le résultat moyen. Il y a aussi des façons de quantifier « à quel niveau d’aléatoire » quelque chose se trouve, une façon de dire que 1d6+4 est « plus aléatoire » que 5d2 en cela que cela donne des résultats plus dispersés, vous faites cela principalement en calculant quelque chose qu’on appelle « la déviation standard » et plus elle est large, plus aléatoire est le dé, mais cela demande plus de calcul que je ne souhaite exposer aujourd’hui (j’y reviendrai plus tard). Tout ce que je vous demande maintenant est de savoir qu’en général, moins de dés = plus d’aléatoire. Tant que je suis sur le sujet, plus de faces d’un dé signifie aussi plus d’aléatoire, comme vous avez une plus large étendue.

Calculer les probabilités en comptant

Vous pourriez vous demander : comment pouvons-nous déterminer la probabilité exacte d’obtenir un tirage spécifique ? C’est très important dans de nombreux jeux, car si vous lancez un dé au début il y a probablement un résultat optimal. Et la réponse est que nous comptons deux choses. En premier, comptez le nombre total de façons de lancer le dé (quel que soit le résultat). Ensuite, comptez le nombre de lancers de dés qui vous donnent le résultat que vous souhaitez. Divisez le premier nombre par le second et vous avez votre probabilité ; multipliez par 100 et vous avez votre pourcentage.

Exemples

Voici un exemple très simple. Vous souhaitez tirer 4 ou plus sur un d6. Il y a 6 résultats possibles (1,2,3,4,5 ou 6). Sur ces résultats, 3 seulement (4,5 ou 6) sont un succès. Alors votre probabilité est 3/6, ou 0.5 soit 50 %

Voici un exemple un petit peu plus compliqué. Vous souhaitez tirer un nombre pair sur 2d6. Il y a 36 résultats au total (6 pour chaque dé, et comme aucun dé n’est influencé par l’autre, vous multipliez 6 par 6 pour obtenir 36). Le piège avec des questions comme celles-là, est qu’il est facile de compter deux fois. Par exemple, il y a de fait deux façons de tirer le nombre 3 sur 2d6 ; 1+2 et 2+1. On dirait la même chose, mais la différence est quel nombre apparaît sur le premier dé, et quel nombre apparaît sur les second dé. Si cela peut aider, imaginez que chaque dé a une couleur différente, alors peut-être que vous avez un dé rouge et un dé bleu dans ce cas. Et vous pouvez compter les différentes façons de tirer un nombre pair :

• 2 (1+1),
• 4 (1+3) (2+2) (3+1),
• 6 (1+5) (2+4) (3+3) (4+2) (5+1),
• 8 (2+6) (3+5) (4+4) (5+3) (6+2),
• 10 (4+6) (5+5) (6+4),
• 12 (6+6)

Il apparaît qu’il y a exactement 18 façon de le faire sur 36, ce qui donne aussi 0,5 soit 50 %. Peut-être inattendu mais plutôt sympa.

(Note : de fait, il était possible de le trouver par raisonnement inverse en se demanda,t combien de nombres impairs pouvaient être trouvés ; comme il y a autant de faces paires et impaires, les chances de faire 50/50 étaient fortes).

Simulations Monte Carlo

Que faire si vous avez trop de dés pour compter de cette façon ? Par exemple, disons que vous souhaitez connaître les chances d’obtenir un total combiné de 15 ou plus sur un tirage de 8d6. Il y a énormément de résultats individuels sur 8d6, alors simplement les compter à la main prend trop de temps. Même si nous trouvons certaines astuces pour grouper les différentes séries de tirages ensemble, cela prendra toujours beaucoup de temps. Dans ce cas, la façon la plus facile d’obtenir le résultat est d’arrêter de faire des maths et commencer à utiliser un ordinateur, et il y a deux façons différentes de le faire.

La première vous donne une réponse exacte mais vous demande un peu de programmation ou de scripting. Vous demandez à l’ordinateur de passer chaque possibilité dans une boucle, en évaluant et en comptant le total des itérations ; et aussi les itérations qui sont un succès, et alors vous sortez les réponses à la fin. Votre code pourrait ressemble à ça :

int wincount=0, totalcount=0;

for (int i=1; i<=6; i++)

{

for (int j=1; j<=6; j++)

{

for (int k=1; k<=6; k++)

{

… // insert more loops here

if (i+j+k+… >= 15)

{

wincount++;

}

totalcount++;

}

}

}

float probability = wincount/totalcount;

Si vous ne connaissez par la programmation mais avez besoin d’une réponse à la louche, qui n’a pas besoin d’être exacte, vous pouvez le simuler dans Excel en lui faisant lancer 8d6 un millier de fois et en conservant les résultats. Pour lancer 1d6 dans Excel utilisez la formule :

=FLOOR(RAND()*6)+1

Quand vous ne connaissez pas la réponse et que vous faites beaucoup d’essais, il y a un nom pour cela : Simulation Monte Carlo, et c’est un bon outil sur lequel s’appuyer quand vous essayez de faire des calculs de probabilités et vous vous trouvez coincés. La bonne nouvelle avec ça, c’est que nous n’avons pas à connaître les maths sous-jacents, et pourtant nous savons que la réponse sera « plutôt bonne » car comme nous l’avons appris auparavant, plus de fois vous faites quelque chose, plus cela tend vers la moyenne.

Combiner des essais indépendants

Si vous demandez des essais répétés plusieurs fois mais indépendants, alors le résultat d’un tirage n’affectera pas les autres tirages, nous avons une astuce supplémentaire que nous pouvons utiliser et qui rend les choses un peu plus faciles.

Comment faites-vous la différence entre quelque chose qui est dépendant et quelque chose qui est indépendant ? Tout d’abord, si vous pouvez isoler chaque lancer de dé (ou série) comme un événement distinct, alors c’est indépendant. Par exemple, obtenir un total de 15 sur 8d6 n’est pas quelque chose que vous pouvez diviser en plusieurs lancers indépendants. Comme vous faites la somme des dés ensemble, ce que vous obtenez sur un dé affecte les résultats requis des autres, parce que c’est uniquement tous les dés ajoutés ensemble qui vous donnent un seul résultat.

Voici un exemple de lancers indépendants : disons que vous avez un jeu de dés où vous lancez une série de d6. Au premier lancer, vous devez obtenir 2 ou plus pour rester dans la partie. Au second lancer, vous devez obtenir 3 ou plus. Le troisième demande 4 ou plus, le quatrième est 5 ou plus, et le cinquième lancer exige un 6. Si vous réussissez les 5 lancers successivement, vous gagnez. Ici, les lancers sont indépendants. Oui, si vous échouez un lancer, cela affecte l’issue de la partie, mais chaque lancer individuel n’est pas influencé par les autres ; par exemple, si vous lancez très bien sur votre second lancer, cela ne vous donne pas plus ou moins de chances de réussir sur les futurs lancers. À cause de cela, nous pouvons considérer la probabilité de chaque lancer séparément.

Lorsque vous avez des probabilités indépendantes, distinctes, et que vous voulez savoir quelle la probabilité que l’ensemble advienne, vous prenez chacune des probabilités individuelle et les multipliez ensemble. Voici une autre façon de le voir : si vous utilisez le mot « et » pour décrire différentes conditions (comme par exemple dans « quelle est la probabilité qu’un événement aléatoire advienne et qu’un autre événement aléatoire indépendant advienne ? »), estimez les probabilités et multipliez-les.

Quoi que vous fassiez, n’ajoutez jamais les probabilités indépendantes ensemble. C’est une erreur courante. Pour comprendre pourquoi cela ne fonctionne pas, imaginez un pile ou face à 50/50, et vous vous demandez quelle est la probabilité d’obtenir deux Face de suite. La probabilité de chaque est 50 %, ainsi si vous les ajouter ensemble, vous pouvez vous attendre à 100 % de chance d’obtenir les têtes, mais nous savons que ce n’est pas vrai, parce que vous pourriez obtenir Pile deux fois. Si à la place vous faites la multiplication, vous obteniez 50 % x 50 % = 25 %, ce qui est la probabilité correcte d’obtenir Face deux fois de suite.

Exemple

Revenons à notre jeu d6 où vous devez obtenir plus que 2, puis plus que 3, et ainsi de suite jusqu’à 6. Dans cette série de 5 lancers, quelles sont les chances de tous les réussir ?

Comme nous l’avons dit avant, ce sont des tests indépendants, alors nous ne calculons que les probabilités de chaque lancer et ensuite nous les multiplions ensemble. Le premier lancer réussi 5 fois sur 6. Le second lancer, 4 fois sur 6. Le troisième 3 fois sur 6. Le quatrième 2 fois sur 6 et le cinquième 1 fois sur 6. En les multipliant ensemble nous obtenons à peu près 1,5 %… Ainsi, gagner à ce jeu est plutôt rare, et vous voudriez un gros jackpot si vous voulez mettre ça dans votre jeu.

Négation

Voici une autre astuce utile : parfois il est difficile de calculer la probabilité directement, mais vous pouvez trouver les chances que quelque chose n’arrive pas de façon plus aisée.

Voici un exemple : supposez que nous fassions un autre jeu où vous lancez 6d6, et vous gagnez si vous lancer au moins un 6. Quelles sont vos chances de gagner ?

Il y a plusieurs choses à calculer ici. Vous pouvez obtenir un 6 unique, ce qui signifie qu’un des dé montre un 6 et les autres montrent tous 1 à 5, et il y a 6 différentes façons de choisir quel dé montre un 6. Et vous pourriez obtenir deux 6, ou trois, ou plus, et chacun est un calcul distinct, et cela devient compliqué très rapidement.

Toutefois, il existe une autre façon de voir le problème, en le retournant. Vous perdez si aucun des dés ne montre 6. Ici nous avons six essais indépendants, et chacun a une probabilité de 5 sur 6 (le dé pour donner tout sauf 6). Multipliez les ensemble et vous obtenez à peut près 33 %. Ainsi vous avez 1 chance sur 3 de perdre.

Faites l’inverse à nouveau, cela signifie qu’il y a 67 % de chance (ou 2 sur 3) de gagner.

La leçon la plus évidente ici est que si vous prenez une probabilité et l’inversez, soustrayez-la simplement de 100 %. Si les chances de gagner sont 67 %, les chances de ne pas gagner sont 100 % moins 67 % . Et ainsi de suite. Donc si vous ne pouvez pas calculer une chose mais qu’il est plus facile de calculer l’opposé, faites-le et retirez-le de 100%.

Combiner les conditions à l’intérieur d’un unique test indépendant

Il y a quelques temps, j’ai dit que vous ne devriez jamais ajouter les probabilités ensemble lorsque vous faites des tests indépendants. Est-ce qu’il existe des cas où vous pouvez ajouter les probabilités ensemble ? Oui, dans une situation spéciale.

Lorsque vous essayez de trouver la probabilité pour plusieurs critères de réussite qui ne se superposent pas dans un seul essai, ajoutez-les ensemble. Par exemple, la probabilité d’obtenir un 4, un 5 ou un 6 sur 1d6 est égale à la probabilité d’obtenir un 4 plus la probabilité d’obtenir un 5 plus la probabilité d’obtenir un 6. Une autre façon de voir cela : lorsque vous utilisez le mot « ou » dans votre probabilité (comme, « quelle est la probabilité que vous obteniez un certain résultat ou un résultat différent, d’un unique événement aléatoire), calculez les probabilités individuelles et ajoutez-les ensemble.

Un élément important ici est que si vous ajoutez toutes les issues possibles pour un jeu, les probabilités combinées devraient faire exactement 100 %. Si ce n’est pas le cas, vous vous êtes trompés dans vos calculs, et ainsi c’est une bonne façon de vérifier que vous n’avez rien oublié. Par exemple, si vous étiez en train d’analyser la probabilité d’obtenir toutes les mains au poker, si vous les ajoutez toutes, vous devriez obtenir exactement 100 % (ou au moins très près – si vous utilisez une calculatrice, vous pourriez avoir une petite erreur d’arrondi, mais si vous faites les calculs exacts à la main cela devrait être exact). Si ce n’est pas le cas, cela signifie que vous avez certainement des mains que vous n’avez pas pris en considération, ou que vous vous êtes trompé dans la probabilité de certaines mains, et ainsi vous devez revenir en arrière et vérifier vos chiffres.

Probabilités inégales

Jusqu’à présent, nous sommes partis du principe que chaque face d’un dé a autant de chance de sortir, parce c’est comme cela que les dés sont supposés fonctionner. Mais parfois, vous avez une situation où il y a différentes issues qui ont différentes chances d’aboutir. Par exemple, il y a cette girouette dans une des extensions du jeu de cartes Nuclear War qui change le résultat d’un tir de missile : la plupart du temps il fait plus ou moins un dégât normal, mais parfois il double ou triple les dégâts, ou fait exploser le pas de tir et vous fait des dégâts, ou autre. Contrairement à la girouette dans Echelles & Serpents ou le Jeu de la Vie, la girouette de Nuclear War a des résultats qui ne sont pas équiprobables. Certains résultats ont de larges sections où la girouette peut tomber plus souvent, alors que d’autres résultats sont des petites tranches sur lesquelles elle tombe rarement.

Maintenant, à première vue, cela ressemble à un dé 1,1,1,2,2,3 dont nous parlions auparavant, qui était une sorte de d3 pondéré, et ainsi tout ce que nous avons à faire est de diviser toutes ces sections de façon équitable, trouver l’unité la plus petite dont tout est un multiple, et ensuite en faire une d522 (ou autre) avec de nombreuses faces de dé montrant les mêmes choses pour les résultats les plus communs. Et c’est une façon de le faire, et cela marcherait techniquement, mais il y a une façon plus facile.

Revenons à notre simple lancer de d6 original. Pour un dé normal, nous avons dit d’ajouter toutes les faces et ensuite les diviser par le nombre de faces, mais qu’est-ce que nous faisons vraiment ici ? Nous pourrions dire cela d’une autre façon. Pour un dé à 6 faces, chaque face a exactement 1/6 chance d’être obtenue. Ainsi nous multiplions le résultat de chaque face par la probabilité de ce résultat (1/6 pour chaque face dans ce cas), et ensuite nous les ajoutons toutes ensemble. En faisant cela, nous obtenons (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), ce qui donne le même résultat (3,5) que nous avons obtenu avant. Et vraiment, c’est ce que nous faisons à chaque fois : multiplier chaque résultat par la probabilité du résultat.

Pouvons-nous faire cela avec la girouette de Nuclear War ? Bien sûr que nous pouvons. Et cela nous donnera le résultat moyen si nous les ajoutons ensemble. Tout ce que nous avons à faire est nous figurer la probabilité de chaque tour de girouette, et la multiplier par le résultat.

Un autre exemple

Cette technique de comptage de la valeur attendue en multipliant chaque résultat par sa probabilité individuelle fonctionne aussi si les résultats sont équiprobables mais pondérés différemment, comme si lanciez un dé mais gagniez plus souvent sur certains lancers que d’autres. Par exemple, voici un jeu que vous pourriez trouver dans certains casinos : vous placez un pari et lancez 2d6. Si vous obtenez les trois plus petits nombres (2, 3 ou 4) ou les quatre plus haut (9, 10, 11 ou 12), vous gagnez une montant égal à votre pari. Les extrêmes sont spéciaux : si vous obtenez un 2 ou un 12, vous gagnez le double de votre pari. Si vous obtenez n’importe quoi d’autre (5, 6, 7 ou 8), vous perdez votre pari. C’est un jeu plutôt simple. Mais quelles sont les chances de gagner ?

Nous pouvons commencer par déterminer combien de fois vous gagnez :

• Il y a 36 façons de lancer 2d6 au total. Combien de ceux-là sont des lancers gagnants ?
• Il n’y a qu’une façon d’obtenir un 2 et une façon d’obtenir un 12
• Il y a deux façons d’obtenir un 3 ou un 11
• Il y a trois façons d’obtenir un 4 ou un 10
• Il y a quatre façon d’obtenir un 9
• Additionnez les tous et il y a 16 lancers gagnants sur 36.

Ainsi, dans les conditions normales, vous gagnez 16 fois sur 36… soit un peu moins que 50%.

Ah, mais pour deux résultats, vous gagnez deux fois plus, alors c’est comme gagner double ! Alors si vous jouez à ce jeu 36 fois avec une mise de 1$ à chaque fois, et obtenez tous les résultats possibles exactement une fois, vous gagnerez 18$ (vous jouez de fait 16 fois, mais deux de ces fois comptent comme deux victoires). Comme vous jouez 36 fois et gagnez 18$, est-ce que cela signifie que les chances sont égales ?

Pas si vite. Si vous faites le compte des fois où vous perdez, il y a 20 façons de perdre, pas 18. Ainsi si vous jouez 36 fois pour 1$ chaque, vous gagnerez un total de 18 $ pour les fois où vous gagnez… mais vous perdrez 20$ pour les vingt fois où vous perdrez ! Au final, vous finissez un peu plus en arrière : vous perdez 2$ net, en moyenne, pour chaque 36 parties (vous pouvez dire qu’en moyenne, vous perdez 1/18eme de dollar par jeu). Vous pouvez voir combien il est aisé de faire une erreur et obtenir les mauvaises probabilités ici !

Permutations

Jusqu’à présent, tous nos lancers de dés sont partis du principe que l’ordre l’importait pas. Obtenir 2+4 est la même chose qu’obtenir 4+2. Dans la plupart des cas, nous comptons simplement à la main le nombre de façons différentes de faire quelque chose, mais parfois c’est peu pratique et nous aimerions une formule mathématique.

Voici un problème exemplaire d’un jeu de dé appelé Farkle. Vous démarrez chaque tour en lançant 6d6. Si vous avez assez de chance pour obtenir chacune des faces, 1 2 3 4 5 6 (un « straight »), vous avez un large bonus de score. Quelle est la probabilité que cela arrive ? Il y a plein de façons différentes d’avoir chacune des faces.

La réponse est de regarder le problème de cette façon : un dé (et un seul) doit montrer 1. Combien de façon il y a t’il de faire ça ? Six – il y a 6 dés, et n’importe lequel peut montrer le 1. Gardez le et mettez le de côté. Maintenant, un des dés restants doit montrer 2. Il y a 5 façons de le faire. Gardez le et mettez le de côté. En continuant ainsi, quatre dés restants peuvent montrer 3, trois dés de ceux restants peuvent montrer 4, deux dés de ceux restants peuvent montrer 5, et à la fin il vous reste une dé unique qui peut montrer 6 (pas de choix dans ce cas). Pour déterminer combien de façons il y a de tirer un « straight », nous multiplions tous les choix indépendants et différents : 6x5x4x3x2x1 = 720 – ont dirait qu’il y a beaucoup de façon de rouler un « straight ».

Pour obtenir la probabilité de rouler un « straight » vous devez diviser 720 par le nombre de façons de rouler un 6d6 au total. Comment pouvons-nous faire ça ? Chaque dé peut montrer 6 faces, alors nous multiplions 6x6x6x6x6x6 = 46656 (un nombre bien plus grand!). En divisant 720 / 46656 nous obtenons une probabilité d’environ 1,5%. Si vous conceviez ce jeu, il serait bon de savoir que vous pourriez concevoir le système de marquage de points en fonction. Nous pouvons voir pourquoi Farkle vous donne un tel bonus de score pour rouler un « straight » : cela n’arrive que très rarement !

Ce résultat est intéressant pour d’autres raisons. Cela montre juste à quel point il est peu fréquent que nous puissions obtenir exactement la probabilité sur le court-terme. Bien sûr, si vous lançons quelques milliers de dés, nous verrions autant des six faces sur nos lancers. Mais en lançant juste six dés, nous n’arriverons presque jamais à rouler exactement un de chaque ! Nous pouvons voir à partir de cela, une autre raisons pourquoi s’attendre à ce qu’un dé donne un résultat qui n’a pas encore été obtenu « parce que nous n’avons pas obtenu un 6 depuis longtemps alors il va bientôt arriver » est un jeu de dupes.

Mec, ton générateur de nombres aléatoires est cassé…

Ceci nous amène à une incompréhension commune des probabilités : l’hypothèse que tout est réparti uniformément à court terme, ce qui n’est pas le cas. Dans une petite série de lancers de dés, nous devons nous attendre à des irrégularités.

Si vous avez déjà travaillé sur un jeu en ligne avec une forme de générateur de nombre aléatoire auparavant, vous avez probablement entendu ceci : un joueur rédige un rapport pour vous dire que votre générateur de nombre aléatoire est clairement cassé et pas aléatoire, et il le sait parce qu’il vient juste de tuer 4 monstres d’affilée et a obtenu exactement le même butin, et ces butins sont supposés survenir seulement 10% du temps, alors cette situation ne devrait presque jamais arriver, donc clairement vous lanceur de dés est cassé.

Vous faites le calcul. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 = 1 in 10,000, ce qui est très peu fréquent. C’est ce que le joueur essaie de vous dire. Est-ce qu’il y a un problème ?

Cela dépend. Combien de joueurs sont sur le serveur ? Disons que vous avez un jeu raisonnablement populaire, et vous avez 100,000 joueurs par jour. Combien d’entre eux tuent quatre monstres d’affilée ? Peut-être tous, et plusieurs fois par jour, mais restons conservateurs et disons que la moitié d’entre eux sont juste là pour faire des échanges à l’hôtel des ventes ou discuter sur les serveurs RP ou que sais-je, et ainsi, seulement la moitié d’entre eux vont réellement à la chasse aux monstres. Quelle est la probabilité que cela arrive à quelqu’un ? Sur une échelle comme celle-ci, vous pouvez vous attendre à ce que cela arrive plusieurs fois par jour, au moins !

Accessoirement, c’est pourquoi il semble que chaque semaine au moins quelqu’un gagne à la loterie, même si cette personne n’est jamais vous ou quelqu’un que vous connaissez. Si assez de gens jouent chaque semaine, les chances sont que vous aurez au moins une personne chanceuse bien énervante quelque part… mais si vous jouez à la loterie, vous avez moins de chances de gagner que vos chances d’être embauché à Infinity Ward.

Cartes et dépendance

Maintenant que nous avons parlé des événements indépendants comme les lancers de dés, nous avons beaucoup d’outils puissants pour analyser l’aléatoire de nombreux jeux. Les choses deviennent un petit peu plus compliquées quand nous parlons de tirer les cartes d’un paquet, parce que chaque carte que vous tirez influence ce qui reste dans le paquet. Si vous avons un jeu standard de 52 cartes et tirez, disons, le 10 de Coeur, et vous voulez connaître les probabilités que la prochaine carte soit aussi un Coeur, les chances sont changées parce que vous avez déjà retiré un Coeur du paquet. Chaque carte que vous retirez change la probabilité de la carte suivante dans le paquet. Comme chaque tirage de carte est influencé par les tirages de carte qui sont venus avant, nous appelons cela les probabilités dépendantes.

Notez que lorsque je dis « cartes » ici je parle de n’importe quelle mécanique de jeu dans laquelle vous avons un ensemble d’objets et vous en tirez un sans le remettre, et dans ce cas un « paquet de cartes » est mécaniquement équivalent à un sac de tuiles d’où vous tirez un tuile que vous ne remettez pas dedans, ou une urne d’où vous tirez une boule colorée (je n’ai jamais vu de jeu qui implique de tirer des boules d’une urne, mais les professeurs de probabilités semblent avoir une affection pour elles pour quelque raison que ce soit).

Propriétés de la dépendance

Pour être clair, avec les cartes je pars du principe que vous tirez des cartes, les regardez et les retirez du paquet. Chacune de ces étapes est importante.

Si j’avais un paquet avec, disons, six cartes numérotées 1 à 6, et que je mélangerais et dont je tirerais une carte et ensuite mélangerais à nouveau les six cartes entre les tirages de cartes, ce serait équivalent à un lancer de d6 : aucun résultat n’influence ceux à venir. C’est seulement si je tire des cartes sans les replacer, que tirer un 1 au début fera que j’ai plus de chances de tirer un 6 la fois prochaine (et cela sera de plus en plus le cas jusqu’au tirage final, ou jusqu’à ce que je mélange à nouveau).

Le fait que nous regardions les cartes est aussi important. Si je tire une carte du paquet mais ne la regarde pas, je n’ai aucune information supplémentaire, ainsi les probabilités n’ont pas vraiment changé. C’est quelque chose qui peut paraître contre-intuitif : comment est-ce que révéler une carte change magiquement les probabilités ? Mais c’est le cas, parce que vous pouvez uniquement calculer la probabilité de quelque chose d’inconnu en vous basant sur ce que vous connaissez. Ainsi, par exemple, si vous mélangez un paquet standard, révélez 51 cartes et aucune d’entre elles n’est la Reine de Pique, vous savez avec 100% de certitude que c’est la carte manquante. Si à l’inverse vous mélangez un paquet standard et retirez 51 cartes sans les révéler, la probabilité que la dernière carte soit la Reine de Pique reste 1/52. Pour chaque carte supplémentaire que vous révélez, vous obtenez plus d’information.

Exemple

Vous mélangez un paquet standard de 52 cartes et tirez deux cartes. Quelle est la probabilité que vous ayez tiré une paire ? Il y a plusieurs façons de calculer cela, mais a priori la façon la plus facile est de dire cela : quelle est la probabilité que la première carte que vous ayez tiré soit totalement inadaptée à tirer une paire ? Aucune, alors la première carte ne compte pas vraiment tant que la seconde carte lui correspond. Quel que soit le tirage de notre première carte, nous sommes toujours dans la course pour tirer une paire, ainsi nous avons 100% de chance d’obtenir une paire après avoir tiré la première carte.

Quelle est la probabilité que la seconde carte corresponde ? Il reste 51 cartes dans le paquet, et 3 d’entre elles correspondent (normalement ça serait 4 sur 52, mais vous avez déjà retiré un carte « correspondante » à votre premier tirage) alors la probabilité fini par être 3/51 soit 1/17. (Ainsi, la prochaine fois qu’un gars assis en face de vous à la table de Texas Hold’em vous dit « Waouh, une autre paire ? Ça doit être mon jour de chance ! » vous savez qu’il y a de bonne chances qu’il bluffe.)

Et si nous ajoutons 2 jokers et c’est maintenant un jeu de 54 cartes, et voulons toujours connaître les chances de tirer une paire ? De temps à autre votre première carte sera un joker, et il y aura seulement une carte correspondant dans le reste du paquet, plutôt que trois. Comment allons nous déterminer cela ? En divisant les probabilités et en multipliant chaque possibilité.

Votre première carte sera soit un Joker, soit Autre Chose. La probabilité d’un Joker est 2/54, la probabilité d’Autre Chose est 52/54.

Si la première carte est un Joker (2/54) alors la probabilité de correspondance de la seconde carte est 1/53. En multipliant ces deux ensemble (nous pouvons faire cela parce que ce sont des événements séparés et nous voulons qu’ils arrivent tous les deux), nous avons 1/1431 – moins qu’un dixième de pourcent.

Si la première carte est Autre Chose (52/54), la probabilité d’une correspondance sur la seconde carte est 3/53. En multipliant ces deux ensemble nous avons 78 / 1431 (un peu plus que 5,5%).

Que faisons-nous avons ces résultats ? Comme ils ne se superposent pas, et nous voulons connaître la probabilité de n’importe lequel des deux, nous faisons une addition ! 79 / 1431 (toujours autour de 5,5%) est la réponse finale.

Si nous voulions vraiment être prudents, nous pourrions calculer les probabilités des autres résultats possibles : tirer un Joker et ne pas correspondre, ou tirer Autre Chose et ne pas correspondre. Et ajouter ces deux ensembles avec la probabilité de gagner, et vous devriez obtenir exactement 100% Je ne ferai pas le calcul ici pour vous, mais sentez vous libre de le faire vous même pour confirmer.

Le problème de Monty Hall

Ce qui nous amène à un problème très célèbre qui tend à réellement embrouiller les gens, appelé le problème de Monty Hall. Il est appelé comme cela parce qu’il y avait cette émission de jeu appelée Let’s Make A Deal, animée par Monty Hall. Si vous n’avez jamais vu l’émission, c’est une sorte de The Price Is Right (Le Juste Prix) inversé. Dans The Price Is Right, l’animateur (qui était Bob Barker, et maintenant c’est… Drew Carey ? Peu importe…) est votre ami. Il veut vous donner de l’argent et des prix fabuleux. Il essaie de vous donner toutes les opportunités de gagner, aussi longtemps que vous êtes doué pour estimer combien coûtent les produits sponsorises.

Monty Hall n’était pas comme ça. C’était le jumeaux maléfique de Bob Barker. Son but était de vous faire passer pour un idiot à la télévision nationale. Si vous étiez dans l’émission, il était l’ennemi, et vous jouiez à un jeu contre lui, et les chances étaient en sa faveur. Peut-être que je suis un peu dur, mais quand votre chance d’être sélectionné comme compétiteur, semblait être directement proportionnel à celle que vous portiez un costume ridicule, j’ai tendance à tirer ce type de conclusions.

Quoi qu’il en soit, un des plus grand mèmes de l’émission était qu’on vous donnait le choix entre trois portes, et ils les appelaient Porte N°1, Porte N°2 et Porte N°3. Ils vous offrait une porte de votre choix – pour rien ! Derrière une porte, vous disait-on, se trouve un prix fabuleux comme une Voiture Neuve. Et derrière les autres portes, il n’y avait aucun prix, rien du tout, ces deux autres portes étant sans valeur. Sauf que le but était de vous humilier, alors ils n’auriez pas simplement une porte vide, il y aurait quelque chose de ridicule derrière comme une chèvre, une tube de dentifrice géant, ou quelque chose… quelque chose qui n’était clairement pas une Voiture Neuve.

Ainsi vous auriez choisi votre porte, et Monty se serait préparé à vous révéler si vous aviez gagné ou non… mais attendez, avant de faire cela, jetons un œil aux autres portes que vous n’aviez pas choisies. Comme Monty sait où se trouve le prix, et il n’y a qu’un prix et deux portes que vous n’avez pas choisies, quoi qu’il en soit il peut toujours révéler une porte sans prix. Oh vous avez choisi la porte 3 ? Et bien révélons la porte 1 pour vous montrer qu’il n’y a pas de prix ici. Et maintenant, en étant la personne généreuse qu’il est, il vous donne la chance d’échanger votre Porte N°3 pour n’importe quoi se trouvant derrière la Porte N°2 à la place. Et c’est là que nous entrons dans les probabilité : est-ce que basculer de porte augmente vos chance de gagner, ou la diminue, ou est-ce la même ? Qu’en pensez-vous ?

La vraie réponse est que basculer augmente vos chance de gagner de 1/3 à 2/3. C’est contre-intuitif. Si vous n’avez jamais vu ce problème avant, vous vous demandez certainement : attendez, simplement en révélant une porte nous avons magiquement changé les résultats ? Mais comme nous l’avons vu dans nos exemples de cartes plus tôt, c’est exactement ce que l’information révélée fait. Vos chances de gagner avec votre premier choix sont évidemment 1/3, et je pense que tout le monde ici sera d’accord là dessus. Quand cette nouvelle porte est révélée, cela ne change pas la probabilité de votre premier choix – c’est toujours 1/3 – ce cela signifie que l’autre porte a maintenant 2/3 d’être la bonne.

Voyons cela d’une autre façon. Vous choisissez une porte. Chance de gagner : 1/3. Je vous propose d’échanger pour les deux autres portes, ce que Monty Hall fait à la base. Bien entendu, il n’en révèle qu’une qui n’est pas le prix, mais il peut toujours faire ça, et ainsi cela ne change rien. Bien entendu, vous allez vouloir changer !

Si vous vous posez encore des questions sur cela et avez besoin de plus de conviction, cliquez ici [ NdT : lien introuvable ] vous mènera à une merveilleuse petite application Flash qui vous laissera explorer ce problème. Vous pouvez réellement jouer, en partant avec 10 portes, et éventuellement arriver à 3 ; il y a aussi un simulateur auquel vous pouvez donner n’importe quel nombre de portes de 3 à 50 et simplement jouer par vous même, ou lancer quelques milliers de simulations et vous dire combien de fois vous auriez gagné si vous étiez restés dessus contre avoir changé.

Monty Hall, Redux

Maintenant, en pratique dans l’émission, Monty Hall le savait, parce qu’il était bon en math même si les joueurs ne l’étaient pas. Ainsi voici ce qu’il faisait pour changer le jeu un petit peu. Si vous aviez choisi la porte avec le prix derrière, ce qui arrive 1/3 du temps, il vous aurait toujours proposé la possibilité de changer. Après tout, si vous aviez une voiture, vous l’auriez échangée pour une chèvre et vous auriez eu l’air ridicule, ce qui était exactement ce qu’il voulait, parce que c’est le genre de type méchant qu’il était. Mais si vous aviez choisi une porte avec aucun prix derrière, il vous aurait offert la possibilité de changer seulement la moitié du temps, et l’autre moitié il vous aurait simplement montré votre Chèvre Toute Neuve et sorti du plateau. Analysons ce nouveau jeu où Monty peut choisir si oui ou non il vous donne la possibilité de changer.

Supposons qu’il suive cet algorithme : toujours vous proposer de changer si vous avez choisi la porte avec la voiture, autrement vous avez 50/50 chances de vous donner votre chèvre ou vous donner la chance de changer. Maintenant quelles sont les chances de gagner ?

1/3 du temps, vous choisirez le prix dès le début et il vous offrira de changer.

Sur les 2/3 restants (vous avez mal choisi au début), la moitié du temps il vous proposera de changer, et la moitié du temps il ne vous le proposera pas. La moitié de 2/3 est 1/3, donc à la base 1/3 du temps vous obtenez votre chèvre et quittez la partie, 1/3 du temps vous avez mal choisi et ils vous offre de changer, et 1/3 du temps vous avez choisi correctement et il vous offre de changer.

S’il vous propose un échange, nous savons déjà que le 1/3 du temps où il vous donne votre chèvre et vous partez n’est pas arrivé. C’est une information utile, parce que cela signifie que votre chance de gagner a maintenant changée. Des 2/3 des fois où un choix vous était proposé, 1/3 voulait dire que vous aviez bien choisi et l’autre 1/3 que vous aviez mal choisi, ainsi si un choix nous était proposé cela signifiait que notre probabilité de gagner est maintenant 50/50, et il n’y a aucun avantage mathématique à conserver ou changer.

Comme au Poker, ce n’est plus un jeu mathématique et maintenant c’est un jeu de psychologie. Est-ce que Monty vous offre un choix parce qu’il pense que vous êtes un idiot qui ne sait pas que changer est le « bon » choix, et que vous allez vous entêter à garder la porte que vous avez choisie parce que psychologiquement c’est pire d’avoir une voiture et la perdre ? Ou est-ce qu’il pense que vous être futé et que vous allez basculer, et il vous offre la chance parce qu’il sait que vous avez bien choisi dès le début et que vous mordrez à l’appât et tomberez dans son piège ? Ou peut-être est-ce que vous être particulièrement aimable, et vous pousse à faire quelque chose dans votre intérêt, peut-être parce qu’il n’a pas offert de voiture depuis un moment et ses producteurs lui disent que le public commence à s’ennuyer et donc il est préférable qu’il offre son prix rapidement de manière à ce que l’audience ne chute pas ?

De cette façon, Monty peut offrir un choix (parfois) tout en conservant les probabilités de gagner à 1/3. Souvenez-vous, un tiers du temps vous perdez tout simplement. Un tiers du temps vous choisissez correctement au début, et la moitié de ce temps vous gagnez (1/3 x ½ = 1/6). Et un tiers du temps, vous choisissez incorrectement au début, mais le choix de changer vous serait offert, et 50% du temps vous allez aussi gagner (aussi 1/6). Ajoutez les deux situations de victoire qui ne se superposent pas et vous obtenez 1/3, et ainsi que vous changiez ou que vous conserviez votre choix, vos chances globales restent de 1/3 pendant toute la partie… pas mieux que si vous aviez fait un choix et qu’il vous avait montré ce qu’il y avait derrière la porte, sans l’affaire de changer de choix ! Ainsi l’objectif de vous offrir de changer de porte n’est pas dans le but de changer les chances, mais simplement que prendre cette décision rend l’émission bien plus excitante à regarder !

Accidentellement, c’est aussi l’une des raisons qui font que le Poker peut être aussi intéressant, est que la plupart des formats impliquent de révéler lentement les cartes entre les tours de mise (comme le Flop, le Turn et la River dans le Texas Hold’Em), parce vous démarrez avec une certaine probabilité de gagner et que cette probabilité change entre chaque tour de mise au fur et à mesure où plus de cartes sont révélées.

Le problème des frères et soeurs

Et cela nous amène à un autre problème célèbre qui tend à perturber le gens, le problème des Frères et Soeurs. C’est la seule chose dont je parlerai aujourd’hui qui ne soit pas directement lié aux jeux (bien que je pense que cela signifie simplement que je devrai vous mettre au défi d’inventer une mécanique de jeu qui l’utilise). C’est plus un casse-tête, mais amusant, et pour le résoudre vous devez vraiment être capable de comprendre les probabilités conditionnelles dont nous avons parlé.

La question est la suivante : j’ai un ami qui a deux enfants, et au moins l’un d’entre eux est une fille. Quelle est la probabilité que l’autre soit aussi une fille ? Partons du principe que dans la population humaine normale, il y ait 50/50 chances d’avoir un garçon ou une fille, et partons du principe que c’est universellement vrai pour n’importe quel enfant (en réalité, certains hommes produisent plus de chromosomes X ou Y, alors cela devrait modifier les chances un petit peu, où si vous connaissez que l’un de ses enfants est déjà une fille, alors les chances sont légèrement plus élevées qu’ils aient plus de filles, et ensuite il y a des états comme l’hermaphrodisme, mais pour notre propos, ignorons cela et partons du principe que chaque enfant est un essai indépendant avec une chance égale d’être mâle ou femelle).

Intuitivement, puisque nous faisons face à une chance de base de ½, nous pourrions nous attendre à ce que la réponse soit ½ ou ¼ ou n’importe quel chiffre bien rond, divisible par 2. Et la réponse actuelle est 1/3. Attendez, quoi ?

L’astuce ici est que l’information que nous avons reçue réduit les possibilités. Disons que les parents sont des fans de Sesame Street et que quelque soit le sexe, ils appellent leurs enfants A et B. Dans des conditions normales, il y a quatre possibilités qui sont aussi égales : A et B sont tous deux des garçons, A et B sont toutes deux des filles, ou A est un garçon et B est une fille, ou A est une fille et B est un garçon. Comme nous savons qu’au moins l’un d’entre eux est une fille, nous pouvons éliminer la possibilité que A et B soient tous deux des garçons, et ainsi il nous reste 3 scénarios (équiprobables). Comme ils sont équiprobables et qu’il y en a trois, nous savons que chacun a une probabilité de 1/3. Seulement une de ces scénarios implique deux filles, alors la réponse est 1/3.

Le problème de frères et sœurs, Redux

Et cela devient de plus en plus étrange. Supposez à l’inverse que je vous dise que mon ami a deux enfants, et un est une fille qui est née un mardi. Partons du principe que dans les conditions normales, un enfant a autant de chances d’être né durant n’importe que jour de la semaine. Quelle est la probabilité qu’un autre enfant soit aussi une fille ? Vous pourriez penser que la réponse serait 1/3 ; qu’est-ce que le mardi a à voir avec le reste ? Mais à nouveau, l’intuition vous trompe. La réponse actuelle est 13/27, ce qui n’est pas simplement contre-intuitif, mais cela à l’air bizarre. Que se passe t’il ici ?

Le mardi change les chances, à nouveau parce que nous ne savons pas de quel enfant il s’agissait, ou si les deux enfants sont nés le mardi. En appliquant la même logique qu’auparavant, nous comptons toutes les combinaisons valides des enfants où au moins l’un d’entre eux est une fille du mardi. Encore une fois les enfants sont nommés A et B, les combinaisons sont :

• A est une fille du mardi, B est un garçon (il y 7 possibilités ici, une pour chaque jour de la semaine pendant lequel B peut être né)
• B est une fille du mardi, A est un garçon (encore une fois, 7 possibilités)
• A est une fille du mardi, B est une fille née un jour différent de la semaine (6 possibilités)
• B est une fille du mardi, A est une fille née un autre jour que le mardi (6 possibilités)
• A et B sont toutes deux des filles nées un mardi (1 possibilité, mais nous devons faire attention à ne pas le compter deux fois)

Si vous ajoutez tout, il y a 27 combinaisons d’enfants et journées qui sont équiprobables, avec au moins une fille du mardi. Parmi elle, 13 possibilités impliquent deux filles. Encore une fois, c’est complètement contre-intuitif, et apparemment conçu pour aucune autre raison que vous faire mal à la tête. Si vous continuez à vous gratter la tête, le ludologiste Jesper Juul a un belle explication de ce problème sur son site web.

Si vous travaillez sur un jeu actuellement…

Si un jeu que vous êtes en train de concevoir possède de l’aléatoire, c’est une bonne excuse pour l’analyser. Choisissez un élément aléatoire que vous voulez analyser. Pour cet élément, demandez-vous d’abord quel type de probabilités vous vous attendez à voir, ce qui fait sens dans le contexte du jeu. Par exemple, si vous faites un JdR et regardez à la probabilité qu’un joueur frappe un monstre en combat, demandez-vous quel pourcentage de chances de frapper vous paraît correct. En général, dans les JdR sur console, les coups ratés par le joueur sont très frustrants, alors vous ne voudriez pas manquer beaucoup… peut-être 10% du temps ou moins ? Si vous êtes un designer de JdR vous le savez probablement mieux que moi, mais vous devriez avoir une idée basique de ce qu’est le bon ressenti.

Puis demandez-vous si c’est quelque chose de dépendant (comme des cartes) ou d’indépendant (comme des dés). Divisez tous les résultats possibles, et les probabilités de chaque. Faites en sorte que la somme de vos probabilités fasse 100%. Et pour finir, bien entendu, comparez les chiffres existants avec ceux que vous attendez. Est-ce que ce lancer de dé ou tirage de carte particulier se comporte comme vous le souhaitez, ou voyez-vous des signes que vous avez besoin d’ajuster les valeurs ? Et bien entendu, si vous trouvez quelque chose à ajuster, vous pouvez utiliser ces mêmes calculs pour déterminer de combien vous devez l’ajuster !

Travail à la maison

Votre « travail à la maison » cette semaine est pensé pour vous aider à pratiquer vos compétences en probabilités. J’ai pour vous deux jeux de dés et un jeu de cartes à analyser en utilisant les probabilités, et ensuite une mécanique étrange d’un jeu sur lequel j’avais travaillé qui fournit une opportunité d’utiliser une simulation Monte Carlo.

Jeu n°1 : Dragon Dice

C’est un jeu de dé que j’ai inventé avec des collègues un jour (merci à Jeb Havens et Jesse King!) spécifiquement pour retourner la tête des gens avec les probabilités. C’est un simple jeu de casino appelé Dragon Dice, et c’est un concours de paris avec des dés, entre vous et la Banque. On vous donne 1d6 standard, et vous le lancez. Vous essayez de faire plus que la Banque. La Banque reçoit 1d6 non standard – il est semblable au vôtre, mais à la place du 1 il a un dragon (ainsi le dé de la banque est Dragon – 2 – 3 – 4 – 5 – 6). Si la Banque obtient un Dragon, alors la Banque gagne automatiquement et vous perdez automatiquement. Si vous obtenez le même nombre, c’est un « push » et vous devez relancer. Sinon le gagnant est celui qui obtient le plus grand résultat.

Évidemment, les chances sont légèrement contre le joueur ici, parce que la Banque a cet avantage du Dragon. Mais de combien est cet avantage ? Vous allez le calculer. Mais d’abord, avant que vous le fassiez, exercez votre intuition. Supposez que ce jeu était offert avec un gain de 2 pour 1. Ainsi, si vous gagnez, vous conservez votre pari et obtenez deux fois votre pari en gains. Ainsi, si vous pariez 1$ et gagnez, vous gardez vos 1$ et obtenez 2$ en plus, pour un total de 3$. Si vous perdez, vous ne perdez que votre pari standard. Est-ce que vous joueriez? Ceci dit, intuitivement, est-ce que vous pensez que les chances sont meilleures ou pires que 2 pour 1 ? Dit autrement, pour 3 parties que vous jouez, est-ce que vous vous attendez à gagner plus d’une fois, ou moins d’une fois, ou exactement une fois en moyenne ?

Une fois que vous avez utilisé votre intuition, faites le calcul. Il y a seulement 36 possibilités pour chaque dé, et donc vous ne devriez avoir aucune difficulté à toutes les compter. Si vous n’êtes pas certain de cette affaire de « 2 pour 1 », voyez-le comme ça : supposez que vous jouez le jeu 36 fois (en pariant 1$ à chaque fois). Une victoire vous apporte 2$ en plus, une défaite vous fait perdre 1$, et une égalité ne correspond à rien. Comptez vos victoires et pertes totales et déterminez si vous finissez avec plus d’argent ou moins. Et puis demandez-vous à quelle point votre intuition était juste. Et enfin rendez-vous compte à quel point j’étais malveillant.

Et oui, au cas où vous vous poseriez la question, la mécanique de lancer de dé ici est quelque chose de volontairement déroutant, mais je suis certain que vous verrez à travers une fois que vous serez assis et y regarderez de près. Essayez de le résoudre par vous même, je posterai les réponses la semaine prochaine.

Jeu n°2 : Chuck-a-Luck

Il y a aussi un jeu de pari intitulé Chuck-a-Luck (aussi connu sous le nom Birdcage, parce que parfois au lieu de lancer les dés ils sont placés dans une cage de métal qui ressemble parfois à une cage de Bingo). C’est un jeu simple qui fonctionne comme ça : vous placez votre mise (disons, 1$) sur n’importe quel nombre de 1 à 6. Vous lancez ensuite 3d6. Pour chaque dé qui montre le nombre sur lequel vous avez parié, vous obtenez 1$ en gains (et vous conservez aussi votre mise d’origine). Si aucun dé ne montre votre nombre, la Banque prend vos 1$ et vous n’obteniez rien. Ainsi, si vous misez sur le 1 et obtenez 3 trois 1, vous gagnez 3$.

Intuitivement, il semblerait que ce soit un jeu de pair / impair. Chaque dé représente individuellement une chance de gagner de 1/6, alors ajouter les trois devrait vous donner une chance de 3/6 de gagner. Mais bien entendu, si vous calculez de cette façon, vous les ajoutez comme si c’était des lancers de dés distincts, et souvenez-vous, vous n’avez le droit d’ajouter que si vous parlez de conditions de victoire séparées mais du même dé. Vous devez alors multiplier quelque chose.

Lorsque vous comptez tous les résultats possibles (vous trouverez peut-être plus facile de faire cela dans Excel qu’à la main parce qu’il y a 216 résultats), cela ressemble toujours à un jeu pair-impair. Mais en réalité, les chance de gagner sont de fait plus en faveur de la Banque ; de combien ? En particulier, en moyenne, combien d’argent pouvez-vous vous attendre à perdre à chaque fois que vous jouez à ce jeu ? Tout ce que vous avez à faire c’est d’ajouter les gains et les pertes des 216 résultats, puis les diviser par 216, alors cela devrait être simple… mais comme vous verrez, il y a quelques pièges dans lesquels tomber, et c’est pour cela que je vous dis maintenant que si vous pensez que c’est pair-impair, vous avez tord.

Jeu n°3 : 5-Card Stud Poker

Une fois que vous vous êtes bien échauffés avec les deux précédents exercices, essayons-nous aux probabilités dépendantes en observant un jeu de cartes. En particulier, partons du Poker avec un jeu de 52 cartes. Partons d’une variante comme le 5-Card Stud où chaque joueur reçoit 5 cartes, et c’est tout ce qu’ils ont. Aucune capacité à défausser ou tirer, pas de cartes en commun, vous recevez simplement 5 cartes et c’est tout ce que vous avez.

Une « Quinte Royale » est la suite 10 – V – D – R – A de la même couleur, et il y a quatre couleurs, alors il y a quatre façon d’obtenir une Quinte Royale. Calculez les probabilités d’en avoir une.

Je vous avertis d’une chose : souvenez-vous que vous pouvez tirer ces 5 cartes dans n’importe quel ordre. Alors vous pouvez tirer un As d’abord, puis un 10, ou quoi que ce soit. Alors la manière réelle de compter cela, il y a actuellement plus de 4 façons d’obtenir une Quinte Royale, si vous prenez en compte que les cartes seront tirées successivement !

Jeu n°4 : IMF Lottery

Cette quatrième question est une qui ne peut être facilement résolue avec les méthodes dont nous avons parlé aujourd’hui, mais vous pouvez la simuler assez facilement, soit avec de la programmation, soit en bidouillant un peu dans Excel. Ainsi c’est une façon de mettre en pratique votre technique de Monte Carlo.

Dans un jeu que j’ai mentionné avant appelé ChronX, il y avait cette carte très intéressante appelée IMF Lottery. Voici comment elle fonctionne : vous la mettez en jeu. À la fin de votre tour, le jeu tire un pourcentage et il y a 10% de chance qu’elle quitte la partie, et un joueur au hasard aurait reçu 5 exemplaires de chaque type de ressource pour chaque jeton sur la carte. La carte démarre sans jetons, mais si elle reste en jeu alors au début de chacun de vos tours, elle gagne un jeton. Ainsi il y a 10% de chance que vous la mettiez en jeu, finissiez votre tour, et qu’elle quitte la partie et personne n’aura rien. Si cela n’arrive pas (90% de chance), alors il y a à nouveau 10% de chance (9% à ce stade puisque c’est 10% de 90%) que le prochain tour elle quitte la partie et quelqu’un reçoive 5 ressources. Si elle quitte la partie le tour d’après (10% des 81% restants, soit 8,1 % de chance) quelqu’un obtiendra 10 ressources, puis le prochain tour ce sera 15, puis 20, et ainsi de suite. La question est, quelle est la valeur attendue du nombre total de ressources que vous obtiendrez de cette carte lorsqu’elle quittera finalement la partie ?

En temps normal, nous aurions approché cela en trouvant la probabilité de chaque résultat, et en multipliant par le résultat. Ainsi il y a 10% d’avoir 0 (0,1 * 0 = 0). Il y a 9% d’avoir 5 ressources (cela fait 0,09 * 5 = 0,45 ressources). Il y a une chance de 8,1% d’avoir 10 ressources (0,081 * 10 = 0,81 ressources de valeur attendue, au total). Et ainsi de suite. Et enfin nous les ajoutons toutes ensemble.

Maintenant vous pouvez rapidement voir un problème : il y aura toujours un chance qu’elle ne quitte pas la partie, alors le cas où elle ne quitterait jamais la partie pourrait théoriquement exister, pour un nombre infini de tours, alors il n’existe aucune façon d’écrire toutes les possibilités. Les techniques que nous avons utilisé aujourd’hui ne nous donnent aucun moyen de gérer des récursions infinies, alors vous allons devoir faire semblant.

Si vous vous y connaissez suffisamment en programmation ou en scripting pour être à l’aise de réaliser cela, écrivez un programme pour simuler cette carte. Vous devriez avoir un boucle while qui initialise un variable à zéro, tire un nombre aléatoire, et 10% du temps, cela sort de la boucle. Autrement cela ajoute 5 à la variable, et cela itère. Lorsque cela quitte finalement la boucle, augmenter le nombre total d’essais par 1, et le nombre total de ressources par n’importe quelle valeur finale obtenue. Puis, réinitialisez la variable et essayez à nouveau. Faites cela un milliers de fois. Et à la fin, divisez le total des ressources par le nombre d’essais, et c’est votre valeur attendue via Monte Carlo. Lancez le programme plusieurs fois pour voir si les valeurs que vous obtenez sont similaires ; s’il y a beaucoup de variation dans vos nombres finaux, augmentez le nombre d’itérations dans la boucle externe jusqu’à ce que vous obteniez une forme de consistance. Et vous pouvez être certains que ce que vous obtiendrez sera quasiment juste.

Si vous ne connaissez pas la programmation (ou même si vous savez), c’est une excuse pour exercer vos compétence sous Excel. Vous n’avez jamais trop de compétences sous Excel en tant que concepteur de jeu.

Là vous allez vouloir faire bon usage des déclarations IF et RAND. RAND ne prend pas d’argument, il renvoie juste un nombre décimal aléatoire entre 0 et 1. En général nous l’associons à FLOOR et quelques PLUS et MOINS pour simuler un lancer de dés, comme mentionné auparavant. Dans ce cas, cependant, nous avons juste un test à 10% pour que la carte quitte la partie, alors nous pouvons simplement vérifier si RAND est inférieur à 0,1 et ne pas nous occuper du reste.

IF prend ici trois arguments. Dans l’ordre : une condition qui est soit VRAIE soit FAUSSE, et puis une valeur à retourner si c’est vrai, et une valeur à retourner si c’est faux. Alors la déclaration suivante retournera 5 dix pourcent du temps, et 0 les quatre-vingt dix pourcent restants :

=IF(RAND()<0.1,5,0)

Il y a plusieurs façons de mettre ça en place, mais si j’avais à le faire, j’aurai utilisé une formule comme celle-ci pour la cellule qui représente le premier tour, disons la cellule A1 :

=IF(RAND()<0.1,0,-1)

Ici j’utilise moins un en raccourci pour « cette carte n’a pas quitté la partie et encore donné de ressources » Ainsi si le premier tour s’est terminé et la carte est partie immédiatement, A1 vaudrait zéro ; sinon c’est -1.

Pour la prochaine cellule, représentant le second tour :

=IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))

Ainsi, si le premier tour s’est terminé et la carte a quitté la partie, A1 vaudrait 0 (nombre de ressources), et cette cellule en copierait juste la valeur. Autrement, A1 vaudrait -1 (n’a pas encore quitté la partie), et cette cellule continuerait à faire un tirage aléatoire : 10% du temps elle renvoie 5 (pour 5 ressources), et le reste du temps cela reste -1. En continuant cette formule pour les cellules supplémentaires simule les tours additionnels, et n’importe quelle cellule à la fin vous donnera le résultat final (ou -1 si elle ne quitte jamais la partie après tous les tours qui vous avez simulés).

Prenez cette ligne de cellules, qui représente un jeu unique de la carte, et copiez-collez pour plusieurs centaines (ou plusieurs milliers) de lignes. Nous ne sommes pas en mesure de pouvoir faire un test infini sous Excel (il existe un nombre limité de lignes dans un tableur), mais nous pouvons au moins couvrir la majorité des cas. Enfin, choisissez un cellule unique où vous mettez la moyenne des résultats de tous les tours (Excel fournit par chance la fonction AVERAGE() pour faire ça).

Dans Windows, au moins, vous pouvez taper F9 pour relancer tous vos nombres aléatoires. Comme avant, faites cela plusieurs fois et voyez si les valeurs que vous obtenez sont similaires les uns aux autres. S’il y a trop de variété, doublez le nombre d’essais et recommencez à nouveau.

Problèmes non résolus

Si d’aventure vous avez déjà un doctorat en Probabilités et les problèmes ci-dessus sont trop faciles pour vous, voici deux problèmes sur lesquels je me suis posé des questions pendant des années, mais je n’ai pas les compétences en maths pour les résoudre. Si d’aventure vous savez comment les résoudre, laissez un commentaire ; j’aimerai savoir comment.

Non résolu n°1 : IMF Lottery

Le premier problème non résolu est le travail à la maison précédent. Je peux faire une simulation Monte Carlo (soit en C++ soit en Excel) assez aisément et être assez confiant dans la réponse sur le nombre de ressources obtenues, mais je ne sais pas comment arriver à une réponse définitive, démontrable mathématiquement (puisque que c’est une série infinie). Si vous savez comment, merci de poster le calcul… après avoir fait votre propre simulation Monte Carlo pour le vérifier, bien évidemment.

Non résolu n°2 : Série de cartes Têtes

Ce problème, et encore une fois c’est bien au delà du scope de cet article de blog, est un problème que j’avais posé à un ami joueur il y a plus de 10 ans. Il avait été témoin d’une chose curieuse en jouant au Blackjack à Vegas : à la sortie d’un sabot de 8 paquets, il a vu 10 cartes Tête à la suite (une carte Tête est un 10, un Valet, une Reine ou un Roi, et donc il y en a 16 dans un paquet standard de 52 cartes, ce qui signifie qu’il y en a 128 d’entre elles dans un sabot de 416 cartes). Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une suite de dix cartes Tête ou plus, dans un sabot de 8 paquets ? En partant du principe que le mélange est juste et aléatoire. (Ou si vous préférez, que les chances qu’il n’y ait aucune suite de 10 ou plus de cartes Tête, n’importe où dans la séquence ?).

Vous pouvez simplifier cela. Il y a une chaîne de 416 bits. Chaque bit est soit 0 soit 1. Il y a 128 « un » et 288 « zero » répartis aléatoirement tout le long. Combien de façons existe-t’il pour aléatoirement entrelacer 128 « un » et 288 « zeros », et combien de ces façons contiennent au moins une série de 10 ou plus de 1 ?

À chaque fois que je m’assoie pour résoudre ce problème, il me semble que cela devrait être vraiment facile et évident au début, mais une fois que j’entre dans les détails cela s’effrondre subitement et devient impossible. Alors avant que vous donniez la solution, asseyez vous pour y penser et l’examiner, calculez les vrais nombres vous même, parce que toutes les personnes avec lesquelles j’ai discuté de cela (et cela inclut quelques étudiants dans le domaine), a eu la même réaction « c’est évident… non, attend, ce n’est pas évident ». C’est un cas où je n’ai simplement pas la technique pour compter tous les nombres. Je peux certainement utiliser la force brute avec un algorithme informatique, mais c’est la technique mathématique que je trouve plus intéressante à connaître.

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