L’article original « Level 5: Probability and Randomness Gone Horribly Wrong » a été écrit par Ian Schreiber et fait partie d’un cours de game design en ligne, publié sur le blog Game Balance Concepts.

L’article original et cette traduction sont publiés sous licence Creative Commons (Attribution).

N’hésitez pas à visiter le blog de Ian Schreiber et suivre son compte Twitter.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Lectures / Jeux

Rien cette semaine (autre que cet article).

Réponses aux questions de la semaine dernière

Si vous voulez vérifier vos réponses aux questions de la semaine dernière :

Dragon Dice

Tout d’abord, notez que le bien nommé « Dragon Dice » est simplement un « 1d6+1 » déguisé. Si vous pensez au Dragon comme à un « 7 » puisqu’il gagne toujours, les faces sont 2-3-4-5-6-7, et ainsi en réalité cela revient à demander comment un bonus de +1 sur 1d6 affecte vos chance d’obtenir un plus chiffre plus élevé. Au final, la réponse est : bien plus que la plupart des gens ne le pensent !

Si vous écrivez les 36 possibilités de 2-7 versus 1-6, vous trouvez qu’il y a 21 manière de perdre face à la Banque (7-1, 7-2, 7-3, 7-4, 7-5, 7-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 4-1, 4-2, 4-3, 3-1, 3-2, 2-1), 5 manières de faire une égalité (6-6, 5-5, 4-4, 3-3, 2-2), et 10 manières de gagner (5-6, 4-5, 4-6, 3-4, 3-5, 3-6, 2-3, 2-4, 2-5, 2-6). Nous ignorons les égalités, puisqu’une égalité amène à relancer les dés, ce que nous devrons répéter jusqu’à ce qu’il y ait une victoire ou une défaite, et ainsi seulement 31 résultats correspondent à une forme de résolution. Parmi eux, 21 sont une défaite, et 10 une victoire, ainsi le jeu donne 10/31 chances de gagner. En d’autres termes, vous gagnez un tout petit peu moins qu’un fois sur trois.

Chuck-a-luck

Comme il y a 216 façons d’obtenir un résultat avec 3d6, il est plus facile de faire cela avec Excel qu’à la main. Si vous faites le compte, cependant, vous trouverez que si vous choisissez le nombre 1 pour gagner, il y a 75 façons d’obtenir un victoire unique (1-X-X ou « X » est un autre des 5 résultats perdants, ainsi il y a 25 façons de le faire ; puis X-1-X et X-X-1 pour gagner avec les deux autres dés, ce qui fait un total de 75). Il y a de même 15 façons d’obtenir une double victoire (1-1-X, 1-X-1, X-1-1, cinq fois pour chacun des trois différents = 15), et seulement une seule façon d’obtenir une triple victoire (1-1-1). Comme tous les nombres ont la même probabilité de 1 à 6, les chances sont les mêmes, quel que soit l’un des six chiffres que vous choisissez pour les gains.

Pour obtenir la valeur attendue, nous multiplions les 216 résultats par leur probabilité : comme tous les 216 tirages de dé sont équiprobables, nous faisons simplement l’addition des résultats et les divisons par 216 pour obtenir le pourcentage de gains ou pertes attendus.

(75 façons de victoire simple * 1$ de gain) + (15 façons de victoire double * 2$) + (1 façon de victoire triple * 3$) = 108$ en gains. Comme nous jouons 216 fois et que 108 est la moitié de 216, a première vue cela ressemble à des chances égales.

Pas si vite ! Nous devons compter tous les résultats lorsque nous perdons, et nous perdons plus que 108 fois. Des 216 façon de rouler le dé, il y a 91 façons de gagner, mais 125 de perdre (la raison derrière cette différence est que bien que les doubles et les triples aient plus de valeur lorsqu’ils sont tirés avec votre chiffre, il y a plus de façons d’obtenir des doubles et des triples sur un nombre qui n’est pas le vôtre). Et chacun de ces 125 échecs vous fait perdre 1$.

En faisant la somme, nous obtenons une valeur attendue négative de $17 sur 216 parties, ou une perte attendue de 7,9 cents à chaque fois que vous jouez à ce jeu avec un pari de 1$. Cela ne paraît pas énorme (7,9 cents c’est littéralement de la petite monnaie), mais garder en mémoire que c’est par dollar, et ainsi l’avantage de la Banque à ce jeu est de fait 7,9%, un des pires de tout le casino !

Quinte Royale

Dans ce jeu, vous tirez 5 cartes d’un paquet de 52 cartes, les unes après les autres. Les cartes doivent être 10-V-D-R-A mais elles peuvent arriver dans n’importe quel ordre. La première carte peut être n’importe laquelle de ces 5 cartes, dans n’importe quelle couleur, alors il y a 20 cartes au total lors de votre premier tirage qui sont potentiellement éligibles pour une quinte royale (20/52). Pour la seconde carte, vous devez avoir la même famille que la première carte que vous avez tirée, et ainsi il n’y a que 4 cartes sur les 51 restantes dans le paquet que vous pouvez tirer (4/51). Pour la troisième carte, il n’y a que 3 cartes sur les 50 restantes dont vous avez besoin pour cette quinte royale (3/50). La quatrième carte a 2 cartes sur 49, et la carte finale doit être 1 carte sur 48. Multipliez toutes ces probabilités ensemble et vous obtenez 480/311875200, ou 1/649740. Si vous voulez une valeur décimale, cela donne 0,0000015 (ou si vous multipliez par 100 pour obtenir un pourcentage, 0,000015%, un petit peu plus qu’un dix-millième de pourcent). Pour la plupart d’entre nous, cela signifie que voir une Quinte Royale « naturelle » de 5 cartes est un événement qui arrive une fois dans une vie – si jamais cela arrive !

Loterie IMF

Si vous vérifiez les commentaires de la semaine précédente, différentes personnes ont trouvé différentes solutions qui ne requierent pas une simulation Monte Carlo. La réponse est 45 ressources, c’est à dire que la carte va rester en jeu pour une moyenne de 10 tours. Puisque la carte a 10% de chance de quitter la partie à chaque tour, cela finit par être plutôt intuitif… mais comme nous l’avons vu avec les probabilités, la plupart des choses ne sont pas intuitives. Alors le fait que ce problème se termine avec une réponse qui est intuitive, est en soit contre-intuitif.

Le sujet de la semaine

La semaine dernière, j’ai pris un peu de temps par rapport au reste du cours, dans lequel nous parlons de comment équilibrer un jeu, pour établir une base sur la partie de la théorie des probabilités dont je pense que n’importe quel designer devrait connaître, juste assez pour calculer des chances basiques. Cette semaine je vais tout faire voler en éclats en vous montrant deux endroits où les vraies probabilités peuvent vraiment partir de travers : la psychologie humaine, et les ordinateurs.

Psychologie Humaine

Quand je dis « psychologie », c’est quelque chose que j’ai évoqué brièvement la semaine dernière : la plupart des gens ont vraiment une mauvaise intuition des chances réelles. Alors même si nous faisons en sorte que les éléments aléatoires de notre jeu soit parfaitement justes, ce que nous verrons est loin d’être trivial, une énorme partie des joueurs percevra que le jeu est complètement injuste. Ainsi, en tant que concepteurs de jeu, nous devons être vigilants pour comprendre non seulement les vraies probabilités, mais aussi comment les joueurs perçoivent ces probabilités dans nos jeux et comment cela diffère de la réalité, de telle manière que nous puissions le prendre en compte lorsque nous concevons la jouabilité dont nous voulons qu’ils fassent l’expérience.

Ordinateurs

La plupart des ordinateurs sont des machines déterministes ; ce sont juste des zéros et des uns, qui suivent des algorithmes déterministes pour convertir certains zéros et uns en d’autres zéros et uns. Et pourtant, d’une certaine manière, nous devons obtenir une valeur non-déterministe (un « nombre aléatoire ») d’un système déterministe. C’est fait à travers des jeux de passe-passe mathématique pour produire ce que nous appelons des nombres pseudo-aléatoires : des nombres qui semblent aléatoires, bien qu’en réalité ils ne le soient pas. Comprendre la différence entre aléatoire et pseudo-aléatoire a des implications importantes pour les concepteurs de jeux, et même pour les concepteurs de jeux de plateau s’ils envisagent de faire une version informatique de leur jeu (ce qui arrive souvent avec les jeux « populaires »), ou s’ils prévoient d’inclure des composants électroniques dans leur jeu de plateau et qui possède une part d’aléatoire.

Mais tout d’abord… la chance versus la compétence

Avant de parler de psychologie et d’ordinateurs, il y a cette supposition implicite que nous avons ignoré la semaine précédente, qui vaut le coup d’être discutée et mise à l’épreuve. Cette hypothèse est qu’ajouter un peu d’aléatoire à un jeu peut être bien, mais que trop d’aléatoire est une mauvaise chose… et peut-être que nous sentons que tous les jeux tombent le long d’un continuum entre deux extrêmes de « basé à 100% sur la compétence » (comme les Echecs ou le Go) et « basé à 100% sur la chance » (comme Echelles et Serpent ou Candyland).

Si ce sont les seuls jeux que nous regardons, nous pouvons aller plus loin et finir par penser qu’il existe une division entre occasionnel et expert : plus vous avez de chance dans un jeu, plus occasionnelle est l’audience ; et plus l’issue d’un jeu repose sur la compétence, plus nous le voyons comme un jeu pour expert.

Ce n’est pas toujours le cas, toutefois. Par exemple, un jeu comme le Morpion n’a pas d’aléatoire du tout, mais nous ne le voyons pas comme un jeu qui requiert beaucoup de compétence. En même temps, chaque main au Poker est très aléatoire, mais nous continuons à le voir comme un jeu dans lequel la compétence domine. Et pourtant, une partie de Blackjack est aussi aléatoire, mais à part compter les cartes, nous le voyons plus comme un jeu de chance que le Poker.

Et puis nous arrivons au compétitions physiques comme les sports professionnels. D’un côté, nous les voyons comme des jeux de compétence. Et pourtant, les passionnés listent des tas de statistiques sur les joueurs et les matchs, et nous parlons de pourcentage de chance qu’un joueur marque un but ou manque un tir ou que sais-je, des parieurs sportifs font de l’argent sur l’issue des matchs, comme s’ils n’étaient pas des jeux de compétence mais des jeux de chance.

Que se passe-t’il ici ? Il y a plusieurs explications.

Poker versus Blackjack

Pourquoi cette différence entre la façon dont nous percevons le Poker et le Blackjack ? La différence réside sur le moment et la manière dont les joueurs placent leurs paris, et quelle influence les choix du joueur ont sur l’issue de la partie.

Dans le Poker, un joueur à succès évalue les chances de manière à obtenir un calcul de probabilités qu’il ait la main gagnante, et il en tient compte dans sa mise avec les réactions perçues chez les adversaires. Au fur et à mesure où les cartes sont révélées, le joueur ajuste sa stratégie. La compréhension des probabilités par le joueur et sa capacité à réagir aux changements a une relation directe avec sa performance dans le jeu.

Dans le Blackjack, par contraste, vous placez une mise au début de votre main avant de prendre connaissance des cartes que vous avez reçues, et vous n’avez en général pas l’option de relancer ou vous coucher au fur et à mesure où vous voyez les cartes être révélées.

Le Blackjack requiert un peu de compétence, mais c’est une compétence très différente que le Poker. Savoir quand demander une carte, rester, doubler sa mise ou abandonner, sur la base de votre total, la carte montrée par le donneur, et (si vous comptez les cartes) le pourcentage restant des cartes hautes dans le paquet… ces choses sont des compétences dans le même sens que des compétences à Pac-Man. Vous mémorisez un motif déterministe, mais vous ne prenez pas de décisions particulièrement intéressantes. Vous placez simplement vos mises en suivant un algorithme, et vous vous attendez sur le long terme à faire aussi bien que vous le pouvez, étant donné la distribution des cartes. C’est la même raison pour laquelle nous ne pensons pas que les casinos possèdent beaucoup de « compétence » au Craps ou à la Roulette, simplement parce qu’il gagne plus souvent qu’il perd.

Sports professionnels

Que dire du problème des sports, où un jeu clairement basé sur la compétence semble impliquer des lancers de dés aléatoires ? La raison de ce paradoxe est que cela dépend de votre cadre de référence. Si vous êtes un spectateur, par définition vous n’avez aucun contrôle sur l’issue de la partie ; en ce qui vous concerne, l’issue est une événement aléatoire. Si vous être un joueur dans une équipe sportive, le jeu est gagné ou perdu en partie selon votre niveau de compétence. C’est pourquoi d’une part les athlètes sportifs sont payés sur la base des jeux qu’ils remportent (ce n’est pas un pari pour eux), mais les fans de sport peuvent parier sur l’issue aléatoire (selon eux) de la partie.

Jeux d’action

L’aléatoire fonctionne un peu différemment dans les jeux vidéos basés sur l’action (comme les typiques jeux de tir à la première personne), où les joueurs utilisent leurs compétences dans leur déplacement et leur visée pour abattre leurs adversaires et éviter de se faire tirer dessus. Nous les voyons comme les jeux basés sur la compétence, et de fait, ces jeux sont largement incompatibles avec l’aléatoire. Il y a suffisamment de chaos dans le système sans les lancers de dés aléatoires : si je tire sur une cible mouvante, soit je la touche, soit je la rate, sur la base d’un nombre de facteurs qui sont difficiles à contrôler complètement. Maintenant, supposez que le concepteur ait pensé que cela serait futé d’ajouter une petite perturbation sur un coup de feu d’un pistolet usagé, pour le rendre moins précis. Vous alignez votre cible dans votre viseur, appuyez sur la détente… et ratez, parce qu’il a décidé de faire voler aléatoirement la balle bien à gauche. Comment le joueur pourrait réagir à cela ?

Et bien, ils pourraient ne pas le remarquer. Le jeu va tellement vite, vous courez, ils courent, vous tirez quelques coups, vous manquez, vous comprenez que vous n’avez peut-être pas été aussi précis que vous le pensiez (ou ils ont bien évité). Ou s’ils restent immobiles, vous vous glissez derrière eux, et vous êtes certain que vous avez le coup parfait et perdez pourtant, et vous pensez que le jeu vous a privé d’un bon coup ; que ce n’est pas amusant et cela ne rend pas le jeu plus intéressant, cela vous fait juste ressentir que vous avez été puni arbitrairement pour être un bon viseur.

Est-ce que cela signifie que la chance ne joue aucun rôle dans les jeux d’action ? Je pense que vous pouvez augmenter le facteur chance pour égaliser le terrain de jeu, mais vous devez être très prudent sur comment vous le faites. Voici un exemple usuel de la façon dont beaucoup de FPS augmentent la quantité de chance dans le jeu : les tirs à la tête. L’idée ici est que si vous tirez dans la tête de quelqu’un plutôt que dans le reste du corps, c’est une mort instantanée, ou quelque chose comme ça.

Maintenant vous pourriez penser… attendez, n’est-ce pas un test de compétence ? Vous êtes récompensé pour la précision, en touchant une petite cible et en obtenant un dégât bonus parce que vous êtes très bon… n’est-ce pas ? Dans certains cas c’est vrai, selon le jeu, mais dans beaucoup de jeux (en particulier les anciens) ce type de précision n’est juste pas possible dans la plupart des situations ; vous vous déplacez, ils se déplacent, la tête a une petite boite de collision, l’arme ne vous laisse pas zoomer suffisamment loin pour être vraiment sûr de n’être pas décalé d’un ou deux pixels dans n’importe quelle direction… alors à distance, au moins, un tir à la tête n’est pas quelque chose que la plupart des joueurs peuvent planifier. Parfois ça arrive, simplement par accident si vous tirez dans la bonne direction… ou parfois, sans que ce soit de sa faute, le joueur reçoit un tir à la tête. Cela égalise le terrain de jeu légèrement ; sans tir à la tête, si on fait que n’importe tir réussi est une mort, alors les joueurs les plus précis vont presque toujours gagner parce qu’ils sont meilleurs à éviter, se déplacer en cercle, et n’importe quelle autre technique qui leur permet de manœuvrer autour d’un joueur plus faible. Avec les tirs à la tête, le joueur le plus faible tuera de temps à autre un adversaire automatiquement par accident, et ainsi le joueur le plus faible aura un peu de succès, ce que vous voulez obtenir en tant que concepteur.

Basculer entre Chance et Compétence

Comme nous venons de le voir, avec les jeux d’action, ajouter plus de facteur chance au jeu est délicat mais reste possible, en créant ces événements improbables (mais qui peuvent être réalisés par accident).

Avec des jeux plus lents et plus stratégiques, ajouter de la chance (ou de la compétence) est plus aisé. Pour augmenter le niveau de chance dans le jeu :

• Changer certaines décisions du joueur en événements aléatoires.
• Réduire le nombre d’événements aléatoires dans le jeu (de cette manière la loi des larges nombres n’entre pas trop en jeu, et ainsi l’aléatoire a moins de chance d’être également distribué)
• Augmenter l’impact que les événements aléatoires ont sur l’état du jeu.
• Augmenter l’étendue de l’aléatoire, comme remplacer un 1d6 par 1d20.
• Si vous voulez augmenter le niveau de compétence du jeu, faites l’inverse de ce qu’il y a au dessus.

Quel est le « meilleur » mélange de chance et de compétence pour n’importe quel jeu ? Cela dépend principalement de votre public cible. De jeunes enfants pourraient ne pas être capables de gérer de nombreux choix et les concessions autour du risque / récompense et les gains à court et long terme, mais ils peuvent lancer un dé ou faire tourner une toupie et suivre des directions. Les adultes qui aiment la compétition et les joueurs experts préfèrent souvent des jeux qui tendent plus vers la partie compétence des choses de manière à pouvoir exercer leur domination, mais (sauf dans de rares cas) pas au point de sentir qu’il ne pourrait jamais gagner face à un adversaire plus puissant. Les joueurs occasionnels peuvent aussi voir le jeu comme une expérience sociale plus qu’une opportunité d’exercer la partie stratégique de leur cerveau, et ainsi ils préfèrent réfléchir moins et prendre moins de décisions de manière ce qu’ils puissent dédier plus de leur capacité cérébrale limitée à discuter avec leurs amis. Il n’y a pas une bonne réponse ici pour tous les jeux ; reconnaissez qu’un certain mix de chance et de compétence est mieux pour votre jeu en tant que tel, et une partie de votre travail comme concepteur de jeu est d’écouter votre jeu pour trouver où il doit se situer. Parfois cela signifie ajouter plus d’aléatoire, parfois cela signifie en retirer, et parfois cela signifie le conserver mais changer la nature de l’aléatoire. Les outils que nous avons acquis la semaine dernière devraient vous donner assez de compétence pour être capables d’évaluer la nature de l’aléatoire dans votre jeu, au moins en partie, et faire les changements appropriés.

Et maintenant… la psychologie humaine

Comme nous l’avons vu la semaine dernière, l’intuition humaine est généralement terrible lorsqu’on en vient à l’estimation des chances. Vous pourriez avoir noté cela avec les jeux Dragon Dice ou Chuck-a-Luck ; intuitivement, ces deux jeux semblent donner de meilleures chances de gagner qu’ils ne le font actuellement. De nombreuses personnes ont aussi une compréhension faussées de comment les probabilités fonctionnent, comme nous l’avons vu la semaine dernière avec l’illusion du joueur (s’attendre à ce que de précédents événements indépendants comme des lancers de dés aient la capacité d’influencer ceux à venir). Creusons un peu plus ces erreurs de pensée, et leurs implications pour les joueurs et les concepteurs de jeu.

Biais de sélection

Lorsque qu’on nous demande de faire une estimation intuitive des chances, d’où nous vient notre intuition ? La première heuristique que la plupart des gens utilisent est de vérifier ce que leur rappelle leur mémoire : à quel point est-ce facile de se rappeler de différents événements ? Plus il est facile de se souvenir de nombreux exemples, plus nous estimons que les événements sont possibles ou probables. Cela donne en général de bons résultats ; si vous lancez un dé truqué une centaine de fois, et semblez vous rappeler que le numéro 4 sort vraiment souvent, vous aurez probablement une bonne intuition sur la possibilité qu’il sorte à nouveau. Comme vous pouvez le penser, ce type d’intuition va échouer lorsque ce sera plus facile de se souvenir d’une événement rare que d’une événement courant.

Pourquoi est-ce que ce serait plus facile de se souvenir des événements rares que des événements courants ? D’une part, les événements rares qui sont suffisamment marquants tendent à rester en mémoire (je parie que vous vous pouvez vous souvenir exactement où vous étiez quand les avions ont percuté les tours du WTC). Parfois nous voyons des événements rares arriver plus souvent que les événements courants à cause de la couverture média. Par exemple, de nombreuses personnes ont peur de mourir dans un accident d’avion que de mourir dans un accident de voiture, bien qu’un accident de voiture soit beaucoup plus probable. Il y a peu de raisons à cela, mais l’une est que lorsqu’un avion s’écrase n’importe où, c’est une nouvelle internationale ; les accidents de voiture, par contraste, sont si communs qu’il ne sont plus reportés… et ainsi il est plus facile de se souvenir de beaucoup d’accidents d’avion que de beaucoup d’accidents de voiture. Un autre exemple est la loterie : les gagnants du loto sont fortement mis en avant alors que les millions de perdants ne le sont pas, ce qui nous mène à estimer que gagner est plus probable que ça ne l’est en réalité.

Qu’est-ce que cela a à voir avec les jeux ? D’une, nous avons tendance à nous souvenir de nos victoires épiques bien plus facilement que nous souvenir de nos échecs humiliants (un autre tour que notre cerveau nous joue juste pour rendre la vie plus supportable). Les gens tendent à partir du principe qu’il sont « au dessus de la moyenne » pour la plupart des choses, alors en l’absence de statistiques en dur, les joueurs tendent à surestimer leur propre pourcentage de victoire par rapport à leur compétence. C’est dangereux, dans les jeux où les joueurs peuvent définir leur niveau de difficulté ou choisir leur adversaire. En général, nous voulons qu’un joueur réussisse un certain nombre de fois, et ajuster la difficulté de nos jeux en fonction ; si un joueur choisit une difficulté qui est trop élevée pour lui, il bataillera un peu plus et sera plus à même de quitter par frustration. En étant conscient de cette tendance, nous pouvons essayer (par exemple), de amener les joueurs dans un accord juste avec leurs compétences réelles – à travers un choix d’adversaire automatique, un ajustement dynamique de la difficulté, ou d’autres astuces.

Biais d’auto-complaisance

Il arrive un moment où un événement est peu probable mais encore possible, où les joueurs vont partir du principe qu’ils ont bien plus de chance qu’ils n’en ont réellement. Dans les discours inaugural de Sid Meier à la GDC cette année, il place cela par expérience autour de 3:1 ou 4:1… c’est-à-dire, si le joueur avait 75% à 80% de chance de gagner ou plus, et qu’il gagnait exactement avec ce pourcentage au fil du temps, cela lui paraîtrait incorrect, comme s’il perdait plus qu’il ne devrait. Ses testeurs s’attendaient à gagner presque à chaque fois, c’est-à-dire autour de 95% du temps, si l’écran présentait une probabilité de 75 à 80%.

Les joueurs ont aussi un biais d’auto-complaisance, qui est probablement lié à ce que je disais auparavant qui était que tout le monde pense être au dessus de la moyenne. Alors comme les joueurs ne sont pas d’accord pour perdre un quart du temps lorsqu’ils ont une chance de victoire de 75%, ils sont tout à fait d’accord pour gagner un quart du temps s’ils sont à un désavantage de 1:3.

Biais d’attribution

En général, les joueurs sont plus à même d’accepter une récompense aléatoire qu’une déconvenue ou une punition aléatoire. Et de façon intéressante, ils interprètent ces événements aléatoires de manière très différentes.

Avec une récompense aléatoire, les joueurs ont tendance à intérioriser l’événement, de croire qu’ils ont mérité la récompense suite à une prise de décision ou une stratégie de jeu de qualité. Bien entendu, peut-être que c’était un coup de chance, mais c’était eux qui ont pris les décisions qui ont menées au lancer de dé, et leur prise de risque calculée a payé, donc clairement c’était une bonne décision de leur part.

Avec une déconvenue aléatoire, les joueurs ont tendance à externaliser l’événement : ils blâment les dés ou les cartes, ils disent qu’ils n’avaient simplement pas de chance. Si cela arrive trop souvent, ils peuvent aller jusqu’à dire qu’il n’aiment pas le jeu parce qu’il est injuste. S’ils sont suffisamment investis émotionnellement dans le jeu, comme des jeux de paris à fortes mises, ils peuvent même accuser les autres joueurs de tricher ! Avec les jeux vidéo, la logique et la génération de nombre aléatoire sont cachées ; et ainsi nous voyons d’étranges comportements des joueurs. Certains joueurs vont aller jusqu’à croire que l’IA regarde en douce les données du jeu pour changer les chiffres dans leur dos et tricher à mauvais escient, parce qu’après tout c’est l’ordinateur et il peut théoriquement faire ça.

En résumé, les gens gèrent l’échec différemment de la réussite, dans les jeux et dans la vie.

Ancrage

Une autre façon dont les gens estiment mal les chances est ce phénomène appelé ancrage. L’idée est que, quel que soit le premier chiffre que les gens voient, ils s’y accrochent et lui donnent trop de valeur. Ainsi, par exemple, si vous allez dans un casino et regardez au hasard n’importe quelle machine à sous, sans doute la plus grosse, ce qui attire plus l’attention est le nombre de pièces que vous pouvez gagner avec un jackpot. Parce que les gens voient ça, et se focalisent dessus, cela leur donne l’idée que leurs chances de gagner est bien plus élevée qu’elles ne le sont réellement.

Sid Meier a mentionné un aspect curieux de cela pendant son discours inaugural. Les testeurs – les même qui étaient parfaitement ravis de perdre un tiers du temps lorsqu’ils avaient un avantage de 2:1 comme c’était supposé arriver – sentaient que le jeu était injuste s’ils perdaient un tiers du temps s’ils avaient un avantage de 20:10. Pourquoi ? Parce que le premier nombre qu’ils voient est ce 20, qui paraît être un gros chiffre alors ils sentaient qu’ils avaient beaucoup de puissance ici… et cela paraissait bien plus gros que 10, alors ils sentaient qu’ils avaient cet avantage insurmontable. (Naturellement, s’ils avaient un désavantage de 10:20, ils étaient parfaitement d’accord de ne gagner qu’une fois sur trois).

Cela signifie aussi qu’un joueur qui inflige, disons, une petite quantité de dégâts de base, et ensuite un gros paquet de bonus puisse sous-estimer de dégâts ils infligent.

L’illusion du joueur

Revenons maintenant à l’illusion du joueur, qui veut que les gens s’attendent à ce que les nombres aléatoires aient l’air aléatoire. Les longues séries rendent les gens nerveux et les font se questionner sur le fait que les nombres soient réellement aléatoires ou non.

Une statistique que j’ai trouvé dans la littérature est que si vous demandez à une personne d’imaginer une série de pile ou face « aléatoire », celle-ci a tendance à ne pas être très aléatoire. Spécifiquement, si le précédent tirage était Face, ils ont 60% de chance de choisir Pile pour le prochain jet, et inversement (en partant du principe que vous leur demandez simplement de dire « Pile » ou « Face » dans leur tête quand vous leur demandez de produire un résultat « aléatoire », pas quand ils lancent une pièce pour de vrai). Dans une série de seulement 10 lancers, il est assez commun d’obtenir 4 Face ou 4 Pile de suite (comme la probabilité de 4 de suite est 1 sur 8), mais si vous demandez à quelqu’un de donner dix nombres « aléatoires » qui sont 0 ou 1 dans leur tête, ils ne vont probablement pas vous en donner 3 d’affilée.

Cela peut pousser les joueurs dans la mauvaise direction de façon moins évidente. Voici un exemple, aussi emprunté au discours inaugural de Sid. Souvenez-vous qu’un joueur avait la sensation qu’un avantage de 3:1 signifiait qu’il allait gagner quasiment à chaque fois, mais qu’il était ravi de perdre un affrontement à 2:1 un tiers du temps ? Il apparaît que s’il perd deux confrontations à 2:1 d’affilée, cela paraîtra bizarre pour de nombreuses personnes ; elles ne s’attendent pas à ce que des événements peu probables arrivent plusieurs fois de suite, bien que les lois des probabilités disent qu’ils devraient.

Voici un autre exemple, pour vous montrer pourquoi en tant que concepteurs de jeu nous devons être particulièrement conscients de cela. Supposons que vous conceviez un jeu vidéo qui implique une série de pile ou face équilibré comme faisant partie de sa mécanique de jeu (peut-être que vous utilisez ceci pour déterminer qui démarre à chaque tour, ou autre). Les probabilités vous disent qu’une fois toutes les 32 parties, les six premiers jets seront donneront exactement les mêmes résultats. Si un joueur voit cela lors de la première introduction au jeu, il pourra percevoir cet événement comme tellement inhabituel que le générateur de nombres « aléatoires » dans le jeu doit certainement être cassé quelque part. Si les jets le favorisent, il ne se plaindra pas… mais quand la régression vers la moyenne commencera à pointer son nez et qu’il commence à perdre une fois sur deux, comme c’est supposé arriver, il commencera à sentir que le jeu est en train de tricher, et cela lui prendra un peu de temps pour désapprendre sa première impression (incorrecte) qu’il a plus de chance de remporter un jet de pile ou face. Pire encore, si le joueur voit six échecs d’affilée, directement au le début, vous pouvez parier que ce joueur va probablement penser que votre jeu est injuste. Pour voir à quel point cela peut potentiellement devenir un problème, supposons que votre jeu soit un succès modeste qui vend 3,2 millions d’exemplaires. Dans ce cas, cent mille joueurs vont faire l’expérience d’une série de 6 succès ou échecs dès leur première partie. C’est beaucoup de joueurs qui vont penser que votre jeu est injuste.

L’illusion du joueur est quelque chose que nous pouvons exploiter en tant que joueurs. Les gens partent du principe que les longues séries n’apparaissent pas de manière aléatoire, alors lorsqu’ils essaient de « jouer aléatoirement » ils changent de fait les valeurs plus souvent. Contre un adversaire non compétitif, vous pouvez gagner plus de la moitié du temps à Pierre-Ciseaux-Papier en sachant cela. Insistez pour jouer en 3 parties gagnantes sur 5 ou 4 parties gagnantes sur 7, ou autre. Comme vous savez que votre adversaire a très peu de chance de répéter son dernier coup, dans les coups suivants vous devriez rejouer n’importe quelle option vous a fait perdre face au dernier coup de votre adversaire, parce que votre adversaire ne fera probablement pas la même chose deux fois de suite, et donc vous ne perdrez probablement pas (au pire vous faites égalité).

L’illusion de la main chaude

Il existe une variante de l’illusion du joueur qui s’applique principalement aux sports et autres jeux d’action. L’illusion de la main chaude est appelée ainsi parce qu’au Basketball les fans ont commencé à avoir cette idée que si un joueur faisait deux ou trois paniers de suite, il était « chaud » et plus à même de marquer des paniers supplémentaires et ne pas les rater. (Nous voyons aussi cela dans les jeux de sport comme NBA Jam, où « prendre feu » est de fait une mécanique qui donne un avantage de vitesse et de précision… et certains effets sympathiques comme faire exploser le panier dans une explosion nucléaire).

Lorsque les théoriciens des probabilités l’ont examiné, leur première réaction était que chaque tir était une événement indépendant, comme un lancer les dés, et ainsi il n’y avait aucune raison pour que des paniers précédents puissent influencer ceux à venir. Il s’attendaient à ce qu’un joueur ait autant de chances de marquer un panier, quoi qu’il soit arrivé au cours des précédents essais.

Pas si vite, disent les fans de Basketball. Qui a dit que c’était des événements complètement indépendants ? La psychologie joue un rôle dans la performance sportive. Peut-être que le joueur a plus confiance en lui après avoir réussi plusieurs tirs successifs, et cela les amène à mieux joueur. Peut-être que les fans qui les encouragent leur donnent un peu plus d’énergie mentale. Peut-être que les paniers précédents sont un signe que le joueur est hyper focalisé sur la partie et est dans un état de flow robuste, ce qui fait qu’il a plus de chances de continuer à être performant. Qui sait ?

Cela peut être entendu, disent les théoriciens des probabilités, et puis ils ont étudié les statistiques réelles d’un ensemble de parties pour voir si les paniers précédents avaient une valeur prédictive pour la performance future.

Au final, à la fois les théoriciens et les fans de sport avaient tord. Si un joueur marque plusieurs paniers d’affilée, il augmente légèrement ses chances de rater le suivant – et plus longue est la série, plus grande est la chance de rater (comparativement à ce qui serait attendu par pure chance). Pourquoi ? Je ne pense pas que nous sachions avec certitude, mais a priori il existe une forme d’effet psychologique négatif. Peut-être que le joueur était fatigué. Peut-être que l’autre équipe a senti que ce joueur était une menace, et a joué une défense plus agressive lorsque ce joueur avait la balle. Peut-être que les encouragements de la foule ont perturbé l’état de flow du joueur, ou peut-être que le joueur a pris la confiance et commencé à prendre des risques non justifiés.

Quel que soit la cas, c’est quelque chose qui fonctionne contre nous lorsque les joueurs peuvent construire une série de victoires dans nos jeux – en particulier si vous les relions à des récompenses sociales, telles que des prouesses, des trophées ou des tableaux de score qui apportent une attention particulière aux joueurs avec des longues séries. Pourquoi est-ce dangereux ? Parce qu’au mieux, même si chaque match est vraiment un événement aléatoire indépendant, nous savons qu’une série de victoires est une anomalie. Si la performance d’un joueur tombe sur une sorte de courbe de probabilité (en général une courbe en cloche) et qu’il apparaît qu’il réalise des hautes performances peu réalistes sur une unique partie, les chances sont que la prochaine partie tombera plus bas sur la courbe. Le joueur pense probablement à tard que ses compétences se sont grandement améliorées ; et puis il recommence à perdre à nouveau, il se sentira frustré, parce qu’il sait qu’il peut faire mieux. Ainsi, lorsque la série se termine inévitablement, le tout se corrompt dans l’esprit du joueur. C’est comme si le concepteur avait délibérément construit un système qui punit automatiquement le joueur après chaque succès.

Houston, nous avons un problème…

Pour résumer, voici les problèmes auxquels nous devons faire face en tant que concepteurs, lorsque les joueurs rencontrent des systèmes aléatoires :

• Biais de sélection : les événements improbables mais mémorables sont perçus comme ayant plus de chances d’arriver qu’ils n’en ont réellement.
• Biais d’auto-complaisance : une « perte improbable » est interprétée comme « une perte quasiment impossible » lorsque les chances sont du côté du joueur. Pourtant, une « victoire improbable » est correctement interprétée comme « une victoire peu probable mais encore possible » lorsque les chances sont contre le joueur.
• Biais d’attribution : un résultat aléatoire positif est perçu comme étant dû aux compétences du joueur ; un résultat aléatoire négatif est perçu comme étant de la malchance (ou pire, de la triche).
• Ancrage : les joueurs surestiment les premiers ou plus gros chiffres vus.
• Illusion du joueur : partir du principe qu’une série de résultats identiques réduit les chances que la série continue.
• Illusion de la main chaude : partir du principe qu’une série de résultats identiques augmente les chances que la série continue.

La leçon à retenir ici est que si vous présentez les probabilités réelles du jeu à vos joueurs, et votre jeu produit des nombres aléatoires justes, les joueurs se plaindront parce que selon eux et leur compréhension faussée des probabilités, le jeu ne donne pas l’impression d’être correct.

En tant que concepteurs, que pouvons-nous faire avec ça ? Nous pouvons nous plaindre entre nous du fait que les joueurs sont mauvais en maths. Mais est-ce qu’il y a quelque chose que nous pouvons faire pour tirer avantage de cette connaissance, qui nous permettra de faire des meilleurs jeux ?

Lorsque les concepteurs deviennent malveillants

Une manière de réagir à ce savoir est de l’exploiter de manière à extraire de large sommes d’argent aux gens. Les concepteurs de jeux qui se sont tournés vers le Côté Obscur de la Force tendent à se diriger vers l’industrie des paris, du marketing ou de la publicité, ou de la stratégie politique. (Je dis cela en m’excusant pour les honnêtes concepteurs qui travaillent dans ces industries).

Les paris

Les loteries et les casinos tirent régulièrement avantage du biais de sélection en faisant la promotion des gagnants, ce qui donne l’impression aux gens que gagner a plus de chances d’arriver que ce n’est réellement le cas. Une autre chose qu’ils peuvent faire s’ils sont plus malhonnêtes est de trafiquer leurs machines pour donner un résultat assez proche mais pas exact plus souvent que cela aurait été prédit par les chances aléatoires, comme avoir deux Barres et puis un blanc qui sort sur une machine à sous, ou avoir quatre cartes sur cinq pour une quinte royale qui sort dans un jeu vidéo de Poker. Cela donne aux joueurs une fausse impression qu’ils sont près de gagner plus souvent que ce n’est le cas, ce qui augmente leur excitation et l’anticipation de gagner le jackpot et ainsi faire en sorte qu’il continuent à jouer plus longtemps.

Marketing et publicité

Les marketeurs utilisent les principes de l’ancrage tout le temps pour changer nos attentes sur le prix. Par exemple, votre épicerie locale a probablement affiché des grosses remises partout pour attirer votre attention sur les prix cassés de produits choisis, et notre cerveau va partir du principe que tous les autres produits autour sont aussi moins chers en comparaison… bien qu’ils ne le soient pas.

Un autre exemple d’ancrage est un vendeur de voiture qui peut placer deux modèles presque identiques l’un à côté de l’autre, un avec un prix très élevé très visible, et l’autre avec un prix moins élevé moins visible (mais quand même important). Les acheteurs verront le prix écrit en gros d’abord et l’ancreront, puis il verront le prix écrit en plus petit et auront l’impression en comparaison de faire une bonne affaire… bien qu’ils se fassent arnaquer.

Stratégie politique

Il existe une tonne d’astuces que les politiciens utilisent pour gagner des votes. Un très courant de nos jours est de jouer sur les peurs qu’ont les gens d’événements très médiatisés mais avec peu de chances d’arriver comme des attentats terroristes ou des ouragans, et avoir comme promesse de campagne qu’ils vous protégeront et garderont votre famille à l’abri. Au final, ils ont raison, parce que les événements ont tellement peu de chance de se produire qu’ils n’arriveront pas de toute manière.

Arnaqueurs

Les concepteurs de jeux vraiment malveillants utilisent leur connaissance de la psychologie pour faire des choses qui sont autant efficaces qu’illégales. Une arnaque dont j’ai entendu parler implique d’écrire à un large nombre de personnes pour leur offrir vos « conseils d’investissements » et leur dire de surveiller les mouvements d’une certaine action entre ce jour et le suivant. La moitié des lettres prédit que l’action va monter, et l’autre moitié prédit qu’elle va descendre. Puis, quoi qu’il arrive, vous partez de la moitié des personnes pour lesquelles vous avez vu juste, et faites une autre prédiction. Répétez cela quatre ou cinq fois, et vous tomberez sur une poignée de personnes pour lesquelles vous avez prédit correctement toutes les variations. Et ces personnes se disent qu’il n’y a aucune possibilité que cela soit simplement de la chance, et que vous devez avoir un système qui fonctionne, et ils vous donnent un paquet d’argent, puis vous quittez la ville et filez aux îles Fidji ou autre.

Et les bons concepteurs de jeux ?

Tout cela est parfait pour ceux qui veulent devenir des arnaqueurs (ou pour ceux d’entre nous qui ne veulent pas se faire arnaquer). Mais qu’en est-il pour ceux d’entre nous qui veulent quand même, vous savez, faire des jeux pour le divertissement ?

Nous devons nous rappeler que nous fabriquons une expérience pour le joueur. Si nous voulons que cette expérience soit positive, nous devons prendre en compte que nos joueurs ne comprendront pas intuitivement les probabilités exprimées dans notre jeu, et ainsi modifier nos designs en fonction.

Ajuster les chances

Une façon de faire cela est de dire à nos joueurs une chose, et faire réellement quelque chose d’autre. Si vous dites au joueur qu’il a 75% de chance de gagner, en coulisses vous pouvez réellement lancer le dé avec 95% de chance. Si le joueur échoue, nous pouvons faire que le prochain échec ait moins de chances d’arriver, de façon cumulative ; cela rend improbable de longues séries d’échecs, et les très longues séries impossibles.

Événements aléatoires

Nous pouvons utiliser les événements aléatoires avec précaution, en particulier ceux qui ont des effets qui modifient radicalement le cours de la partie, et en particulier ce qui ne sont pas en faveur du joueur. En général, nous pouvons éviter de trop asperger le joueur d’un simple événement aléatoire ; sinon, le joueur pourra penser qu’il a fait une erreur (et essayer sans succès de comprendre laquelle), ou il pourrait se sentir ennuyé que sa stratégie ait été annulée par un simple lancer de dés raté et ne veuille plus joueur à nouveau. En étant très clair sur la raison pour laquelle un mauvais événement est arrivé (et ce qui peut être fait pour l’éviter lors des futures parties) cela contribue à faire en sorte que le joueur se sente en situation de contrôle.

Contrer la main chaude

Pour contrer le problème de la main chaude (ou un série de victoires rend plus probable qu’un joueur échoue), une chose à faire est de minorer l’importance des « séries » dans nos jeux, de telle manière que les joueurs ne notent pas lorsqu’ils sont sur une série en premier lieu (et ainsi ne noteront pas, ou se sentiront mal, lorsque la série s’arrêtera).

Si vous incluez quand même un mécanisme de série, une chose que vous pouvez faire est de l’inclure dans une boucle de rétroaction positive, en donnant au joueur un avantage de jouabilité pour contrer la chance de plus en plus grande d’échouer après une chaîne de coups. Par exemple, dans Modern Warfare 2, les joueurs reçoivent certains bonus s’ils continuent une tuerie en série (en tuant de nombreux ennemis sans se faire tuer soi-même), ce qui inclut de meilleures armes, le soutien aérien, et même une frappe nucléaire. Avec chaque bonus, il y a plus de chance que leur série continue parce qu’ils sont maintenant plus puissants.

Résumé

Pour faire court, nous savons que les joueurs ont une compréhension faussée des probabilités. Si nous comprenons la nature de ces défauts, nous pouvons changer le comportement de notre jeu pour se conformer aux attentes des joueurs. Cela rendra le jeu plus amusant et plus juste pour les joueurs. C’était, au final, l’un des plus gros point à retenir du discours inaugural de Sid Meier à la GDC cette année.

Une question d’éthique professionnelle

Maintenant, tout cela ne convient pas à tout le monde. Après la GDC, il y a eu au moins quelques personnes pour dire : attendez, n’est-ce pas malhonnête ? En tant que concepteurs de jeu, nous apprenons à nos joueurs à bien jouer à travers les systèmes du jeu. Si nous tordons les règles des probabilités dans nos jeux pour renforcer la compréhension faussée des joueurs sur comment fonctionnent ces probabilités, est-ce que nous n’évitons pas de rendre service à nos joueurs ? Est-ce que nous ne prenons pas quelque chose que nous savons être erroné et l’enseignons à nos joueurs comme si cela était correct ?

Une objection pourrait être que si les joueurs ne s’amusent pas (que cela vienne de nos concepts pas au point, ou leur compréhension incomplète des maths), alors le concepteur doit agir en faveur du joueur – en particulier s’il est redevable à un développeur ou un éditeur qui s’attend à faire beaucoup de ventes. Mais est-ce nécessairement valide ? Le Poker, par exemple, est incroyablement populaire et profitable… bien qu’il punisse sans merci n’importe quel joueur qui tente de s’accrocher à n’importe quelle erreur sur la façon qu’il a de penser les probabilités.

À ce jour, je pense que cela reste une question ouverte, et quelque chose que chaque concepteur à titre personnel doit résoudre par lui-même, sur la base de ses valeurs personnelles et sur les jeux spécifiques qu’il est en train de concevoir. Prenez un instant pour réfléchir à ces questions par vous même :

• Est-ce que les probabilités dans nos jeux sont quelque chose que nous pouvons discuter comme une question d’éthique professionnelle ?
• Comment pouvons nous équilibrer l’importance de fournir au joueur de l’amusement (en particulier lorsqu’ils paient pour ça), au regard de leur fournir une représentation précise de la réalité ?
• Qu’est-ce qui est le plus important : comment le jeu fonctionne réellement, ou comment le joueur s’imagine qu’il fonctionne ?

Une solution supplémentaire

Je peux offrir une autre solution qui fonctionne dans certaines situations spécifiques, et qui consiste à présenter non seulement les probabilités réelles au joueur, mais aussi les résultats réels. Par exemple, si vous demandez aux joueurs d’estimer leur pourcentage de victoire dans un jeu lorsque cela n’est pas tracé par le jeu, ils vont probablement faire une estimation plus élevée que la valeur réelle. Si leurs victoires, échecs et pourcentages leur sont affichés à chaque fois qu’ils démarrent un jeu, ils auront alors une vue puis précise de leur compétence réelle.

Que faire si vous avez un générateur de nombre aléatoire ? Voyez si cela vous semble familier : vous faites une partie de Tetris et êtes convaincus qu’à un certain stade le jeu commence à vous en vouloir. Il semblerait que vous n’obteniez pas ces longues pièces droites avant de ne plus en avoir besoin, n’est-ce pas ? Ma version favorite de Tetris à ce jour, la version Arcade, avait une belle solution à cela : dans une partie pour un joueur, votre jeu prenait la moitié gauche de l’écran, et il utilisait la moitié droite pour garder la trace de combien de briques de chaque type était tombées. Ainsi, si vous pensiez être arnaqué, vous pouviez jeter un œil de côté pour voir si réellement le jeu vous arnaquait, ou si c’était juste votre imagination. Et si vous gardiez un œil dessus au cours du temps, vous auriez vu qu’en effet, de temps à autre, vous aviez un tout petit peu plus d’une pièce qu’une autre en moyenne sur la durée d’un niveau, mais au fil du temps cela s’équilibrait, et la plupart du temps vous aviez à peu près autant de briques de chaque type. Le jeu était juste, et il pouvait vous le prouver avec des données brutes, affichées en temps réel pour le joueur.

Comment est-ce que cela pourrait fonctionner pour d’autres jeux ? Dans un jeu de Poker avec des adversaires IA, vous pourriez informer le joueur après chaque main s’il avait réellement la main gagnante ou non, et garder la trace de leur pourcentage de mains gagnantes, et ainsi il saurait que le brassage du paquet était juste. (Cela pourrait être plus controversé avec des adversaires humains, en cela que cela vous donne un peu d’information sur les habitudes de bluff de vos adversaires). Si vous faites une version du jeu de plateau RISK qui possède des dés simulés, faites en sorte que le jeu garde la trace de la fréquence de chaque chiffre ou combinaison obtenue, et laissez le joueur accéder à ces statistiques à n’importe quel moment. Et ainsi de suite.

Ces genres de choses peuvent rassurer de manière surprenante un joueur qui ne peut jamais vraiment savoir si l’aléatoire dans l’ordinateur est juste ou non.

Quand l’aléatoire n’est pas aléatoire

Cela nous amenant à la distinction entre les nombres qui sont aléatoires, et les nombres qui sont pseudo-aléatoires. Pseudo-aléatoire signifie littéralement « faux aléatoire » et dans ce cas cela signifie qu’ils ne sont pas réellement aléatoires, mais qu’ils en ont juste l’apparence.

Maintenant, la plupart des choses que nous utilisons même dans les jeux physiques pour l’aléatoire ne sont pas parfaitement aléatoire. Les balles avec des nombres peints dessus dans un brasseur qui sont utilisés pour le Bingo pourraient avoir plus ou moins de chances de sortir parce que la peinture leur donne légèrement une différence de poids. Les dés à 6 faces avec des points en creux peuvent être très légèrement déséquilibrés en direction d’une face ou une autre parce qu’il leur manque de la matière, alors leur centre de gravité est un tout petit peu décalé. Aussi, beaucoup de dés à 6 faces ont des bords arrondis, et si ces courbes sont légèrement différentes alors il y a un tout petit peu de chances qu’il continue à rouler lorsqu’il tombe sur certaines faces, et ainsi rendre plus ou moins possible d’atterrir sur certains nombres. Les dés à 20 faces peuvent être légèrement oblongs plutôt que parfaitement ronds (en partie à cause de la façon dont ils sont fabriqués), ce qui les rend moins aptes à rouler sur certains côtés. Tout cela sans prendre en considération des dés qui seraient volontairement truqués, ou même que la personne qui lance le dé se soit entraînée à obtenir ce qu’elle veut !

Et concernant les cartes ? Tout un tas d’études ont montré que la façon dont nous mélangeons un paquet de cartes n’est pas aléatoire, et en réalité, si vous mélangez d’une certaine façon, pendant un certain nombre de fois (j’ai oublié le chiffre exact mais ce n’est pas énorme), le paquet reviendra presque exactement à son état initial ; les magiciens qui utilisent des cartes font cela pour faire comme s’ils mélangeaient un paquet alors qu’il ne font que l’empiler. Même un brassage honnête n’est pas parfaitement aléatoire ; si vous y pensez, par exemple, selon la façon dont vous mélangez, soit la carte du dessous ou celle du dessous restera probablement dans la même position après un simple brassage « riffle shuffle », vous devez mélanger un certain nombre de fois avant que le paquet soit assez brassé. Même sans empiler le paquet délibérément, l’idée ici est que tous les brassages ne se valent pas.

À Las Vegas, ils doivent être très prudent avec cela, et c’est pourquoi vous pourrez noter que les dés de casino sont très différents des d6 blancs avec des points noirs que vous avez à la maison. Un dé légèrement injuste peut coûter au casino sa licence de jeux d’argent (ou leur coûter de l’argent de la part de joueurs compétents qui savent comment lancer les dés de manière biaisée), ce qui représente des milliards de dollars à leur honnête avantage de la Maison à long terme, et c’est pourquoi ils veulent être certains que leurs dés sont le plus proches d’être parfaitement aléatoires que possible.

Le mélange des cartes est un autre souci avec lequel les casinos doivent être prudents. Si les cartes sont mélangées manuellement, vous pouvez rencontrer plusieurs problèmes avec l’aléatoire (en dehors de plaintes du syndrome du canal carpien de vos donneurs). Un donneur qui me mélange pas assez pour suffisamment randomiser le paquet – parce qu’il essaie de distribuer plus de mains ou devient fainéant avec le mélange – peut être exploité par un joueur qui sait qu’il y a plus que la moyenne de chances que certaines cartes en suivent d’autres en séquence. Et c’est sans compter les donneurs qui s’accordent intentionnellement avec les joueurs pour faire cela.

Les casinos sont déjà passés à des mélangeurs automatiques pour gérer ces problèmes, mais ils ont aussi leurs propres problèmes ; par exemple, les mélanges mécaniques sont potentiellement moins aléatoires que les mélanges humains, alors les parieurs vigilants peuvent utiliser une caméra cachée pour analyser la machine et deviner quelles cartes ont plus de chances de rester ensemble à partir d’une paquet juste ouvert, ce qui leur donne un avantage. De nos jours, certains des derniers mélangeurs automatiques ne font pas de « riffle shuffle », ils empilent en suivant un algorithme informatique randomisé, mais comme nous allons le voir dans peu de temps, même ces algorithmes peuvent avoir des problèmes, et ces problèmes peuvent coûter aux casinos beaucoup d’argent s’ils ne sont pas vigilants.

L’idée ici est que, même les événements dans les jeux physiques que nous pensons comme étant « aléatoires » ne sont pas toujours aussi aléatoires qu’il n’y paraît. Il n’y a pas forcément grand chose que nous pouvons faire pour ça, vous dites vous, au moins sans y mettre le prix pour avoir des composants de jeu de très haute qualité. Payer plus que de raison pour un dé manufacturé est un peu trop pour la majorité d’entre nous qui veulent juste une partie détendue des Colons de Catane, et ainsi en tant que joueurs nous devons accepter que nos jeux ne soient pas complètement aléatoires et juste… mais qu’ils le sont suffisamment, et que cela affecte tous les joueurs de la même manière, alors nous l’ignorons.

Nombres pseudo-aléatoires

Les ordinateurs ont des problèmes similaires, parce que comme je l’ai mentionné dans l’introduction, un ordinateur ne possède aucune forme d’aléatoire à l’intérieur de lui. Ce ne sont que des zéros et des uns, des hautes et basses tensions qui passent par des fils, où ils sont stockées de façon électromagnétique en mémoire ou sur un disque quelque part, c’est complètement déterministe. Et à moins que vous ne vouliez avoir un certain type de matériel spécial qui mesure un certain type de phénomène physique qui varie un peut comme un compteur Geiger suivant les directions des radiations relâchées ou autre, ce que la plupart d’entre nous ne font pas, votre ordinateur est peu ou prou coincé avec ce problème que vous devez utiliser une machine déterministe pour jouer à un jeu de hasard non déterministe.

Nous faisons cela à travers un petit peu de mathématiques qui ne seront pas couvertes ici (vous pouvez faire une recherche Google pour les algorithmes de nombres pseudo-aléatoires par vous même si vous y tenez). Tout ce que vous devez savoir est qu’il existe certaines fonctions mathématiques qui se comportent de façon très erratiques, sans motif apparent, et ainsi vous avez simplement à prendre un des résultats de cette fonction et l’appeler nombre aléatoire.

Comment pouvez vous savez quel résultat prendre de la fonction ? Et bien, vous déterminez cela aléatoirement. Je rigole : comme nous l’avons dit, vous ne pouvez pas réellement faire ça. Alors ce que vous faites à la place est de dire à l’ordinateur lequel prendre, et ensuite il partira de celui-là, et la prochaine fois que vous aurez besoin d’un nombre aléatoire, il prendra le prochain dans la séquence, et puis le suivant, et ainsi de suite. Mais parce que nous lui avons dit où commencer, ce qui n’est plus du tout aléatoire, bien que cela apparaisse comme tel pour un joueur occasionnel. Le nombre que vous donnez à l’ordinateur pour commencer est appelé un nombre aléatoire « graine », et une fois que vous donnez à l’ordinateur une graine, il commence simplement à prendre les nombres aléatoires séquentiellement avec cette formule à partir de là. Ainsi vous devez lui donner une graine une seule fois. Mais… et c’est important… si vous lui redonnez la même graine vous aurez exactement les mêmes résultats. Souvenez-vous, c’est déterministe !

En général vous contournons cela en prenant un nombre aléatoire « graine » qui est difficile à répliquer intentionnellement par le joueur, comme le nombre de millisecondes qui se sont écoulées entre minuit et autre chose. Vous devez choisir cela avec précaution cependant. Si, par exemple, vous prenez un nombre aléatoire « graine » qui est simplement la fraction en milliseconde dans l’horloge du système (de 0 à 999), alors votre jeu a uniquement 1000 façons d’être « mélangé », ce qui suffisant pour une série de parties répétées qu’un joueur puisse voir deux parties qui semblent identiques de manière suspecte. Si votre jeu est fait pour être joué de manière compétitive, un joueur suffisamment déterminé pourrait étudier votre jeu et atteindre un point où il peut prédire quels nombres aléatoires arrivent et quand, et utiliser cela pour obtenir un avantage injuste. Alors nous devons être prudents lorsque nous créons ces systèmes.

Le pseudo-aléatoire dans les jeux en ligne : garder les clients synchronisés

Vous devez être particulièrement vigilants avec les nombres aléatoires dans les jeux en ligne, si les machines de vos joueurs génèrent leurs propres nombres aléatoires. J’ai travaillé sur des jeux dans deux sociétés qui étaient architecturés de cette façon, pour le meilleure et pour le pire. Ce qui pouvait arriver était la chose suivante : vous auriez eu un joueur évidemment (ou le serveur) qui génère une graine de nombre aléatoire, et cette graine aurait été utilisée pour les deux joueurs dans un jeu en face à face. Puis, quand n’importe lequel des joueurs avait besoin d’un nombre aléatoire, les deux machines devaient générer ce nombre de telle manière que leur graine de nombre aléatoire soit restée synchronisée. De temps à autre à la faveur d’un bug, un joueur pouvait générer un nombre aléatoire et oublier d’en informer son adversaire, et maintenant leur générateur de nombre aléatoire était désynchronisé. Le jeu continuait pendant plusieurs tours jusqu’à ce que soudainement, le joueur fasse une action qui demande un élément aléatoire, sa machine obtient un succès, et la machine de l’adversaire (avec un nombre aléatoire différent) obtient un échec, les deux clients comparent leur checksum et échouent parce que maintenant ils ont un état de jeu différent, et les deux joueurs sont convaincus que l’autre essaie de tricher. Oops. (Une meilleure façon de faire cela avec les jeux PC est de mettre toute la logique de jeu sur le serveur et utiliser des clients légers ; pour les jeux en réseau sur console mobile ou téléphone portable où il n’y a aucun serveur et c’est une connexion directe, choisissez l’appareil d’un joueur pour gérer toutes ces choses et diffuser l’état du jeu aux autres joueurs).

Le pseudo-aléatoire dans les jeux solo : sauvegarde et chargement

Vous devez aussi être vigilants avec les nombres pseudo-aléatoires dans un jeu solo, à cause des exploitations potentielles. C’est un problème largement non résolu dans la conception de jeu. Vous ne pouvez pas réellement gagner ici, mais au moins vous pouvez choisir votre poison.

Sauvegarder n’importe où

Supposez que vous ayez un jeu où le joueur peut sauvegarder n’importe où, à n’importe moment. De nombreux jeux font cela parce que c’est plus pratique pour le joueur. Toutefois, rien n’empêche le joueur de sauvegarder juste avant qu’il ne fasse un tirage aléatoire important, peut-être quelque chose pour laquelle il a peu de chance de réussir mais il y a une belle récompense si c’est le cas, et il continue à recharger jusqu’à ce qu’il réussisse. Si vous régénérez votre graine de nombre aléatoire à chaque fois que vous rechargez une sauvegarde, il finira par réussir, et il ne joue pas réellement au jeu que vous avez conçu à ce stade… mais d’un autre côté, il utilise les systèmes que vous avez conçus, alors il ne triche pas réellement non plus. Vos probabilités équilibrées avec soin deviennent brutalement déséquilibrées lorsqu’un joueur peut continuer à relancer jusqu’à ce qu’il réussisse.

Sauvegarder n’importe où, avec la graine

Alors, vous vous dites, réparons cela : et si nous sauvegardions la graine du nombre aléatoire dans le fichier de sauvegarde du jeu ? Alors, si vous essayez de sauvegarder et recharger, vous aurez le même résultat à chaque fois ! Tout d’abord, cela n’élimine pas le problème, cela le rend juste un peu plus difficile ; le joueur a juste à trouver une autre chose aléatoire à faire, comme boire une potion qui restaure un nombre aléatoire de points de vie, ou peut-être choisir leur action de combat dans un ordre différent, ou autre, et continuer à essayer jusqu’à ce qu’il trouve une combinaison d’actions qui fonctionne. Deuxièmement, vous avez maintenant créé un nouveau problème : après que le joueur ait sauvegardé, il sait exactement ce que l’IA ennemie fera à chaque tour, parce qu’une fois que vous démarrez avec la même graine de nombre aléatoire le jeu devient maintenant parfaitement déterministe ! Parfois cette connaissance à l’avance de ce qu’un ennemi fera exactement est presque plus puissante qu’être capable de relancer indéfiniment.

Points de sauvegarde

Alors vous dites, d’accord, limitons là où le joueur peut sauvegarder, de manière à ce qu’il passe à travers une quantité non triviale de jouabilité entre les sauvegardes. Maintenant il peut théoriquement exploiter le système de sauvegarde, mais en réalité il a à refaire trop de parcours pour être capable de complètement optimiser chaque action. Et enfin nous rencontrons un problème avec le type de joueur opposé : alors que ce mécanisme dissipe la triche, les joueurs honnêtes se plaignent maintenant que votre système de sauvegarde ne les laissent pas quitter la partie lorsqu’ils le souhaitent, que le jeu les tient en otage entre les points de sauvegarde.

Sauvegardes rapides

Peut-être que vous pensez mettre en place un système de sauvegarde où le joueur peut sauvegarder à n’importe quel moment, mais qui efface leur sauvegarde lorsqu’ils redémarrent, et ils ne peuvent pas utiliser la vieille astuce du sauvegarder / charger. Cela semble fonctionner… jusqu’à ce que l’électricité se coupe ou simplement qu’il joueur honnête atteigne le boss final, et maintenant il doit redémarrer le jeu entier du début. Et il recrute un assassin pour vous tuer dans votre sommeil parce que vous le méritez, espèce de concepteur démoniaque.

Sauvegarder n’importe où, un nombre de fois limité

Vous offrez au joueur la capacité de sauvegarder n’importe où, mais le limitez à un nombre total de sauvegardes. Le jeu Tomb Raider original faisait cela, par exemple. Cela permet certaines exploitations, mais au moins pas sur les derniers lancers de dés. Est-ce un bon compromis ?

Et, en passant, j’espère que vous avez donné au joueur une carte et leur avez dit exactement quelle était la distance (ou le temps) moyen entre deux sauvegardes, et affiché de GROSSES FLECHES sur la carte pour montrer les endroits où les grosses batailles se déroulent, de manière à ce qu’un joueur n’ait pas à rejouer de larges sections de la carte simplement parce qu’il ne savait pas assez tôt à l’avance où étaient les meilleurs endroits pour sauvegarder. Et alors vos joueurs se plaindront que le jeu est trop facile parce qu’il leur donne toute cette information sur là où se trouvent le challenge.

Choisissez votre poison

Comme je le disais, trouver le système de sauvegarde parfait est l’un des problèmes généraux non résolu dans la conception de jeu, simplement sur la question de quel type de système est le plus amusant et agréable pour le joueur, et cela uniquement pour les jeux déterministes ! Lorsque vous ajoutez des nombres pseudo-aléatoires, vous pouvez voir comment le problème peut devenir plus épineux, et ainsi c’est quelque chose auquel vous devriez réfléchir en tant que concepteur lorsque vous concevez des systèmes de sauvegarde / chargement… parce si vous ne le faites pas, alors ce sera à un programmeur de trouver une solution, Dieu vous en préserve, et ce sera probablement basé sur ce qui est le plus simple à coder et non ce qui est le mieux pour le jeu ou le joueur.

Lorsque les nombres pseudo-aléatoires échouent

Même si vous choisissez une bonne graine de nombre aléatoire, et même si vous ignorez les exploitations par les joueurs et les bugs, il y a d’autres manières pour l’aléatoire de partir de travers si vous choisissez des algorithmes pauvres. Par exemple, supposons que vous ayez un paquet de cartes et que vous vouliez le mélanger. Voici un algorithme naïf que la plupart de vos collègues programmeurs de jeu ont imaginé à un certain stade :

1. Démarrez avec un paquet non mélangé.
2. Générez un nombre pseudo-aléatoire qui correspond à une carte dans le paquet (ainsi si le paquet possède 52 cartes, générer un nombre entier entre 1 et 52… ou 0 et 51, selon le langage que vous utilisez). Appelez cet nombre A.
3. Générez un second nombre aléatoire, de la même manière. Appelez ce nombre B.
4. Échangez les positions A et B dans le paquet.
5. Répétez l’étape 2 et 4 beaucoup de fois.

Le problème ici est, tout d’abord, que cela prend un temps énorme pour avoir quelque chose qui ressemble à un mélange aléatoire. Deuxièmement, parce que la position des cartes démarre fixée, et vous échangez des paires une par une à chaque fois, quel que que soit le nombre de fois où vous répétiez cela il y aurait toujours une petite chance que vous retrouviez chaque carte dans sa position initiale dans le paquet, plus qu’ailleurs. Voyez cela comme ça : si une carte est échangée, elle ira dans une position aléatoire, alors toutes les positions sont équiprobables pour n’importe quelle carte qui a déjà été échangée. Échanger de nombreuses fois ne fait aucune différence ; vous allez aléatoirement d’un point à un autre, et vous finirez par pouvoir vous rendre de manière égale à n’importe quelle position. Ainsi n’importe quelle carte qui a été échangée a autant de chance de finir n’importe où, avec une fréquence égale, comme point de départ (ce qui est plutôt bien). Toutefois, il y a une chance non-nulle qu’une carte ne soit pas échangée, et dans ce cas elle reste à sa position initiale, et ainsi a plus de chance de rester où elle est. Plus vous réalisez d’échanges, moins il y a des chances qu’une carte reste à sa position initiale, mais peu importe combien de fois vous faites des échanges vous ne pouvez jamais avoir cette probabilité réduite à zéro. Ironiquement, cela signifie que le mélange le plus probable avec cet algorithme est de voir toutes les cartes exactement dans leur position de départ !

Ainsi vous pouvez voir que même si les nombres pseudo-aléatoires générés pour ce mélange sont parfaitement aléatoires (ou assez proches), le mélange lui-même ne l’est pas.

Est-ce que vous nombres pseudo-aléatoires sont suffisamment pseudo-aléatoires ?

Il y a aussi, bien sûr, la question de savoir si la fonction de votre générateur de nombre pseudo-aléatoire lui-même produit réellement des nombres qui sont assez aléatoires, ou si ce sont des nombres qui sont plus ou moins similaires, soit à cause d’une erreur d’arrondi ou simplement un algorithme pauvre. Un simple test pour voir cela est d’utiliser votre générateur pour générer quelques milliers de coordonnées aléatoires sur un graphique 2D, et représenter ce graphique pour voir s’il existe des motifs notables (comme des nombres qui apparaissent sous forme de treillis, ou avec des agrégats notables ou des espaces vides). Vous pouvez vous attendre à voir un peu d’agrégat, bien entendu, parce que nous savons comment les nombres aléatoires fonctionnent. Mais si vous répétez l’expérience plusieurs fois vous devriez voir des agrégats dans plusieurs zones. C’est une façon d’utiliser une simulation Monte Carlo pour faire un rapide test visuel pour savoir si vos nombreux pseudo-aléatoires sont réellement aléatoires. (Il existe des manière plus mathématique de calculer le niveau exact d’aléatoire de votre générateur, mais cela requiert des maths ; ceci est un test facile, facile et rapide, « assez bon » pour les besoins de la conception de jeu).

La plupart du temps cela ne sera pas un problème. La plupart des langages de programmation et des librairies de jeu viennent avec leurs propres fonctions de génération de nombres pseudo-aléatoires déjà intégrées, et toutes utilisent des algorithmes bien établis qui sont connus pour bien fonctionner, et c’est ce que la plupart des programmeurs utilisent. Mais si votre programmeur, pour n’importe quelle raison, ressent le besoin d’implémenter une fonction de génération de nombre aléatoire personnalisée, c’est quelque chose qu’il faudra tester avec vigilance !

Travail à la maison

Au cours des semaines précédentes, je vous ai donné quelque chose que vous pouviez faire tout de suite pour améliorer l’équilibre du jeu sur lequel vous travaillez, et aussi des tâches à faire plus tard pour vous exercer. Cette semaine nous allons renverser cet ordre. Faites de la pratique d’abord, et puis appliquez-là ensuite à votre projet une fois que vous êtes à l’aise avec l’idée.

Pour le « travail à la maison » de cette semaine, je vais faire une revue de deux algorithmes pour mélanger des cartes. J’ai déjà vu plusieurs variantes des deux algorithmes mises en œuvre dans du code fonctionnel au sein de jeux publiés (je ne préciserai pas quels jeux, pour protéger les innocents). Dans les deux cas, nous avons vu les complaintes perpétuelles de la base des joueurs que le mélangeur de paquet était cassé, et qu’il y avait certains « points chauds » où si vous positionniez une carte à cette place dans votre paquet, elle avait plus de chance d’être mélangée sur le dessus du paquet et d’apparaître dans votre main de départ. Ce que je voudrais que vous fassiez est de penser à ces deux algorithmes d’un point de vue logique, et vous demander s’ils fonctionnent. Je vous donnerai un indice : un fonctionne et l’autre pas. Je vous donnerai le code source, mais je vous expliquerai aussi les deux au cas où vous ne sauriez pas programmer. Gardez à l’esprit que cela pourrait ressembler à un problème de programmation, mais en réalité c’est un problème de calcul de probabilités : de combien de façon pouvez-vous compter les différentes manières qu’une algorithme de mélange fait réellement le mélange des cartes, et est-ce que ces manières correspondent aux différentes permutations des cartes dans un paquet ?

Algorithme n°1

Le premier algorithme ressemble à cela :

1. Commencez avec un paquet non mélangé
2. Choisissez une carte au hasard parmi toutes les cartes disponibles (ainsi si le paquet a 60 cartes, choisissez un nombre pseudo-aléatoire entre 1 et 60). Prenez la carte à cette position et échangez-la avec la carte n°60. En résumé, cela revient à choisir une carte au hasard à mettre en bas du paquet « mélangé », et plus la garder en place.
3. Maintenant, prenez une carte au hasard parmi les cartes restantes (entre 1 et 59), et échangez cette carte avec la position 59, en la plaçant au dessus de la précédente.
4. Maintenant, prenez une autre carte au hasard parmi les cartes restantes (entre 1 et 58), et échangez-la avec la position 58, et ainsi de suite.
5. Continuez à faire cela jusqu’à ce que vous arriviez à la position 1, qui s’échange avec elle-même (et ainsi il ne se passe rien), et enfin nous avons terminé.

C’est clairement différent de la façon dont les humains mélangent normalement un paquet, mais souvenez-vous, le propos ici n’est pas d’émuler un mélange par un humain ; c’est d’obtenir un mélange aléatoire, c’est-à-dire, un ordre aléatoire des cartes.

Algorithme n°2

Le second algorithme est similaire, mais avec deux changement mineurs.

1. Commencez avec un paquet non mélangé.
2. Choisissez une carte au hasard parmi les cartes disponibles (dans un paquet de 60 cartes, cela signifie un carte entre 1 et 60). Échangez avec la position 60, pour la mettre en bas du paquet.
3. Choisissez une carte au hasard parmi les cartes disponibles, en incluant celle qui ont déjà été choisies (ainsi, choisissez une autre carte au hasard entre 1 et 60). Échangez avec la position 59.
4. Choisissez une autre carte au hasard entre 1 et 60 et échangez avec la position 58.
5. Continuez à faire cela jusqu’à ce que vous choisissiez un nombre en 1 et 60, et échangez cette carte avec la position1, et vous avez fini.
6. Et aussi – une dernière chose. Répétez le processus (étape 2 à 5) 50 fois. Cela le rendra plus aléatoire.

Indices

Comment allez vous approcher cela, lorsqu’il y a beaucoup trop de mélanges différents à compter dans un paquet de 60 cartes ? La réponse est que vous commenciez plus simplement. Partez d’un paquet avec seulement trois cartes dedans (et partez du principe que ces cartes sont toutes différentes ; appelez-les A, B et C si vous voulez).

D’abord, déterminez combien de façon il y a d’ordonner un paquet de 3 cartes. Il existe des astuces mathématiques pour faire cela dont nous n’avons pas discuté, mais vous devriez être capable de faire cela simplement par essai et erreur.

Ensuite, observez les deux algorithmes et déterminez combien de façons différentes il y a pour chaque algorithme de produire un mélange. Ainsi dans le premier cas, vous choisissez depuis 3 cartes, puis 2 cartes, puis une. Dans le second cas, vous choisissez depuis 3 cartes, puis 3 cartes, puis 3 cartes. Comparez la liste des ordres possibles du paquet, qui sont, toutes les différentes manière uniques de mélanger le paquet… et comparez les différentes manières qu’un paquet soit mélangé avec ces algorithmes. Vous trouverez celui qui produit un mélange aléatoire (enfin, aussi aléatoire que vos générateur de nombre pseudo-aléatoire, quoi qu’il en soit), et un qui favorise certains mélanges par rapport à d’autres. Et si cela fonctionne de cette façon pour un paquet à 3 cartes, partez du principe que c’est similairement aléatoire (ou non) pour les paquets plus larges. Si vous voulez faire les calculs avec les paquets larges, je vous en prie, mais vous ne devriez pas en avoir besoin.

Si vous travaillez sur un jeu actuellement…

Jeux vidéos

Une fois que vous avez fait ça, si vous travaillez sur un jeu qui implique des ordinateurs, regardez les nombres pseudo-aléatoires et comment votre programme les utilise. En particulier, si vous utilisez une série de nombres pseudo-aléatoires pour faire quelque chose comme mélanger un paquet, assurez-vous de le faire de telle manière que ce soit réellement aléatoire ; et si vous utilisez une façon non standard de générer des nombres pseudo-aléatoires, vérifiez cela en faisant un graphique d’un paquet de paires de nombres de coordonnées aléatoires pour vérifier les motifs indésirables. Enfin, examinez comment votre graine de nombre aléatoire est stockée dans l’état du jeu ; si c’est un jeu multijoueur, est-ce stocké séparément sur différent clients ou bien sur un serveur unique ? Si c’est un jeu solo, est-ce que votre système de sauvegarde fonctionne de telle manière qu’un joueur puisse sauvegarder, tenter un lancer de dé à haut risque, et puisse recharger depuis la sauvegarde jusqu’à ce qu’il réussisse ?

Pour tous les jeux, numériques ou non

Une autre chose à faire, que vous conceviez un jeu de plateau ou un jeu vidéo, est de regarder les mécaniques aléatoires dans votre jeu (s’il y en a) et vous poser les questions suivantes :

• Est-ce que le jeu est plus dominé par la compétence ou par la chance, ou est-ce un mélange égal ?
• Est-ce que le niveau de compétence et de chance dans le jeu est approprié au public cible du jeu, ou est-ce que le jeu devrait pencher un tout petit peu plus d’un côté ou de l’autre ?
• Quels types d’erreurs sur les probabilités vos joueurs risquent-ils d’observer lorsqu’ils jouent ? Pouvez-vous concevoir votre jeu différemment pour modifier la perception par le joueur de combien le jeu est juste ou aléatoire ? Et est-ce que vous devriez le faire ?

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Article précédent : Niveau 4 – Probabilités et aléatoire

Article suivant : Niveau 6 – Equilibre situationnel